(6 pontos)Calcule a área da região dentro do círculo r=1+\cos (\theta) e fora do círculo r=3 \cos (\theta)
(a) Esboce a região;
(b) Encontre os limites da região em coordenadas polares e monte a integral;
(c) Resolva a integral.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Esboçar a região que é “dentro do círculo” r=1+\cos(\theta) e “fora do círculo” r=3\cos(\theta).
  • (b) Determinar os limites da região em coordenadas polares e montar a integral de área.
  • (c) Calcular essa integral (achar a área).
Informações dadas:
  • Curva 1 (cardioide): r_1(\theta)=1+\cos(\theta).
  • Curva 2 (círculo): r_2(\theta)=3\cos(\theta).
Pontos de interseção entre as curvas são valores de \theta que satisfazem
1+\cos(\theta)=3\cos(\theta).
Esses são os dados essenciais; a partir daqui vamos esboçar, decidir os limites angulares e montar a integral.

Passo 2

Esboço e interpretação das curvas (descrição para desenhar mentalmente ou no papel):
  • A curva r=1+\cos(\theta) é uma cardioide com eixo sobre o eixo x, simétrica em relação ao eixo x. Ela passa pela origem em \theta=\pi (porque 1+\cos\pi=0).
  • A curva r=3\cos(\theta) é um círculo de raio \tfrac{3}{2} centrado em (\tfrac{3}{2},0). Esse círculo fica inteiramente à direita do eixo y (ou seja, com x\ge0).
  • As interseções obtêm-se resolvendo 1+\cos\theta=3\cos\theta, ou seja
1=2\cos\theta\quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\tfrac{1}{2}.
Logo as soluções principais são
\theta=\pm \tfrac{\pi}{3}\quad(\text{ou } \theta=\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}).
No esboço: as duas curvas se cortam em ângulos \theta=\tfrac{\pi}{3} e \theta=\tfrac{5\pi}{3}. Entre esses dois ângulos (isto é, para \theta próximo de 0) a função r_2=3\cos\theta é maior que r_1; fora desse intervalo (isto é, para \theta fora de (-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3})) tem-se r_1\ge r_2. Portanto a região pedida (dentro da cardioide e fora do círculo) aparece para os ângulos fora de (-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}), isto é para
\theta\in\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right].

Passo 3

Montar os limites em coordenadas polares (explicando a ideia):
  • Para um ângulo fixo \theta, pontos com coordenada radial r estão entre r=0 e r=r_1(\theta)=1+\cos\theta (dentro da cardioide).
  • Dizer que um ponto está “fora do círculo” r=3\cos\theta significa, quando r_2(\theta)=3\cos\theta\ge0, que o raio r desse ponto deve satisfazer r\ge r_2(\theta). Quando r_2(\theta)<0 (isto é, \cos\theta<0), a equação r=3\cos\theta não gera pontos com r\ge0 naquele \theta, então para esses \theta não há restrição adicional (todo r\ge0 está “fora” do círculo, visto que o círculo não ocupa raios positivos com esse \theta).
  • Em resumo, para descrever a região em polares o limite inferior do raio é
r_{\min}(\theta)=\max\{0,\,3\cos\theta\},
e o limite superior é
r_{\max}(\theta)=1+\cos\theta.
  • O intervalo angular onde há pontos da interseção é \theta\in\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] (fora do intervalo (-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}) não há solução 3\cos\theta\le r\le1+\cos\theta). Portanto a integral de área fica
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\theta=\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{5\pi}{3}}\Big((1+\cos\theta)^2-\big(\max\{0,\,3\cos\theta\}\big)^2\Big)\,d\theta.Á
  • Para facilitar o cálculo, dividimos o intervalo \left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] em três partes conforme o sinal de \cos\theta:
    1. \theta\in\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\right]: aqui \cos\theta\ge0 e 3\cos\theta\ge0, então subtrai-se (3\cos\theta)^2.
    2. \theta\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right]: aqui \cos\theta\le0 e 3\cos\theta\le0, então \max\{0,3\cos\theta\}=0; não subtrai-se nada.
    3. \theta\in\left[\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{3}\right]: aqui novamente \cos\theta\ge0, subtrai-se (3\cos\theta)^2.
Assim a integral escrita de forma explícita é
\begin{aligned} \text{Área}&=\frac{1}{2}\Bigg[\int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1+\cos\theta)^2\,d\theta - \int_{\pi/3}^{\pi/2}(3\cos\theta)^2\,d\theta - \int_{3\pi/2}^{5\pi/3}(3\cos\theta)^2\,d\theta\Bigg]. \end{aligned}Á

Passo 4

Agora vamos calcular cada integral passo a passo. Lembrete rápido: a área em coordenadas polares de uma porção entre duas curvas r=a(\theta) e r=b(\theta) com 0\le a\le b é
\frac{1}{2}\int (b(\theta)^2-a(\theta)^2)\,d\theta,
porque a área de um setor com raio R e ângulo d\theta é \tfrac{1}{2}R^2\,d\theta.
  1. Calcular \displaystyle \int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1+\cos\theta)^2\,d\theta.
Expandindo e usando identidade trigonométrica \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2},
(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\cos\theta+\tfrac{1+\cos2\theta}{2}=\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos2\theta.
Uma primitiva é
\int\Big(\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos2\theta\Big)\,d\theta =\tfrac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\tfrac{1}{4}\sin2\theta.
Avaliaremos entre \theta=\tfrac{\pi}{3} e \theta=\tfrac{5\pi}{3}.
Cálculos das funções trigonométricas:
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\big(\tfrac{5\pi}{3}\big)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{3}\big)=\sin\!\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin\big(2\cdot\tfrac{5\pi}{3}\big)=\sin\!\big(\tfrac{10\pi}{3}\big)=\sin\!\big(\tfrac{4\pi}{3}\big)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora a avaliação:
\begin{aligned} \int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1+\cos\theta)^2\,d\theta &=\Big[\tfrac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\tfrac{1}{4}\sin2\theta\Big]_{\pi/3}^{5\pi/3}\\\ &=\Big(\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{5\pi}{3}+2\sin\!\tfrac{5\pi}{3}+\tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{10\pi}{3}\Big) -\Big(\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{\pi}{3}+2\sin\!\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{4}\sin\!\tfrac{2\pi}{3}\Big)\\\ &=\Big(\tfrac{5\pi}{2}-\sqrt{3}-\tfrac{\sqrt{3}}{8}\Big)-\Big(\tfrac{\pi}{2}+\sqrt{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{8}\Big)\\\ &=2\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}. \end{aligned}
  1. Calcular \displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}(3\cos\theta)^2\,d\theta.
Temos (3\cos\theta)^2=9\cos^2\theta e \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}. Assim
\int 9\cos^2\theta\,d\theta=9\int\Big(\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\Big)\,d\theta =\tfrac{9}{2}\theta+\tfrac{9}{4}\sin2\theta.
Avaliaremos de \pi/3 a \pi/2.
Avaliação:
\begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2}9\cos^2\theta\,d\theta &=\Big(\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{9}{4}\sin\pi\Big)-\Big(\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{9}{4}\sin\tfrac{2\pi}{3}\Big)\\\ &=\Big(\tfrac{9\pi}{4}+0\Big)-\Big(\tfrac{3\pi}{2}+\tfrac{9}{4}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)\\\ &=\tfrac{3\pi}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{8}. \end{aligned}
  1. Calcular \displaystyle \int_{3\pi/2}^{5\pi/3}(3\cos\theta)^2\,d\theta.
Usando a mesma primitiva, avaliando entre 3\pi/2 e 5\pi/3:
\int_{3\pi/2}^{5\pi/3}9\cos^2\theta\,d\theta =\Big(\tfrac{9}{2}\theta+\tfrac{9}{4}\sin2\theta\Big)_{3\pi/2}^{5\pi/3} =\tfrac{3\pi}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{8},
que é o mesmo valor do integral anterior (simetria).
  1. Juntar tudo e simplificar:
Somando as duas últimas subtrações obtemos
\int_{\pi/3}^{\pi/2}9\cos^2\theta\,d\theta+\int_{3\pi/2}^{5\pi/3}9\cos^2\theta\,d\theta =2\left(\tfrac{3\pi}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{8}\right) =\tfrac{3\pi}{2}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}.
Logo a área é
\begin{aligned} \text{Área} &=\frac{1}{2}\Bigg[\Big(2\pi-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\Big)-\Big(\tfrac{3\pi}{2}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\Big)\Bigg]\\[6pt] &=\frac{1}{2}\Big(2\pi-\tfrac{3\pi}{2}\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}. \end{aligned}Á
Observação intuitiva: os termos com \sqrt{3} que aparecem nas subtrações cancelam exatamente, sobrando apenas uma combinação simples dos termos em \pi.]

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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