(6 pontos)Calcule a área da região dentro do círculo
e fora do círculo
(a) Esboce a região;
(b) Encontre os limites da região em coordenadas polares e monte a integral;
(c) Resolva a integral.
(a) Esboce a região;
(b) Encontre os limites da região em coordenadas polares e monte a integral;
(c) Resolva a integral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Esboçar a região que é “dentro do círculo”
e “fora do círculo” . - (b) Determinar os limites da região em coordenadas polares e montar a integral de área.
- (c) Calcular essa integral (achar a área).
Informações dadas:
- Curva 1 (cardioide):
. - Curva 2 (círculo):
.
Pontos de interseção entre as curvas são valores de
que satisfazem
Esses são os dados essenciais; a partir daqui vamos esboçar, decidir os limites angulares e montar a integral.
Passo 2
Esboço e interpretação das curvas (descrição para desenhar mentalmente ou no papel):
- A curva
é uma cardioide com eixo sobre o eixo , simétrica em relação ao eixo . Ela passa pela origem em (porque ). - A curva
é um círculo de raio centrado em . Esse círculo fica inteiramente à direita do eixo (ou seja, com ). - As interseções obtêm-se resolvendo
, ou seja
Logo as soluções principais são
No esboço: as duas curvas se cortam em ângulos
e
. Entre esses dois ângulos (isto é, para
próximo de
) a função
é maior que
; fora desse intervalo (isto é, para
fora de
) tem-se
. Portanto a região pedida (dentro da cardioide e fora do círculo) aparece para os ângulos fora de
, isto é para
Passo 3
Montar os limites em coordenadas polares (explicando a ideia):
- Para um ângulo fixo
, pontos com coordenada radial estão entre e (dentro da cardioide). - Dizer que um ponto está “fora do círculo”
significa, quando , que o raio desse ponto deve satisfazer . Quando (isto é, ), a equação não gera pontos com naquele , então para esses não há restrição adicional (todo está “fora” do círculo, visto que o círculo não ocupa raios positivos com esse ). - Em resumo, para descrever a região em polares o limite inferior do raio é
e o limite superior é
- O intervalo angular onde há pontos da interseção é
(fora do intervalo não há solução ). Portanto a integral de área fica
- Para facilitar o cálculo, dividimos o intervalo
em três partes conforme o sinal de : -
: aqui e , então subtrai-se . -
: aqui e , então ; não subtrai-se nada. -
: aqui novamente , subtrai-se .
-
Assim a integral escrita de forma explícita é
Passo 4
Agora vamos calcular cada integral passo a passo. Lembrete rápido: a área em coordenadas polares de uma porção entre duas curvas
e
com
é
porque a área de um setor com raio
e ângulo
é
.
- Calcular
.
Expandindo e usando identidade trigonométrica
,
Uma primitiva é
Avaliaremos entre
e
.
Cálculos das funções trigonométricas:
,
.
,
.
Agora a avaliação:
- Calcular
.
Temos
e
. Assim
Avaliaremos de
a
.
Avaliação:
- Calcular
.
Usando a mesma primitiva, avaliando entre
e
:
que é o mesmo valor do integral anterior (simetria).
- Juntar tudo e simplificar:
Somando as duas últimas subtrações obtemos
Logo a área é
Observação intuitiva: os termos com
que aparecem nas subtrações cancelam exatamente, sobrando apenas uma combinação simples dos termos em
.]