* QUESTÃO 5 (3 PONTOS):

Sejam o campo vetorial F(x, y, z)=\left(x y z, y^{2}+1, z^{3}\right) e S é a superfície orientada positiva limitada pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1. Seja G=\operatorname{Rot} F, determinar de duas formas diferentes o valor da integral \iint_{S} G \bullet n d S, onde n é o vetor normal unitârio a S.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial F(x,y,z)=\bigl(xyz,\;y^{2}+1,\;z^{3}\bigr).
  • A superfície S é a superfície orientada positivamente que limita o paralelepípedo com x, y, z variando em [0,1]. Ou seja, S é a casca do cubo unitário V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
  • Foi definido G=\operatorname{Rot}F=\nabla\times F.
    O pedido:
  • Determinar por duas vias diferentes o valor da integral de superfície \displaystyle \iint_{S} G\bullet n\,dS, onde n é o vetor normal unitário a S com orientação positiva (normal apontando para fora do volume).

Passo 2

Primeiro vamos calcular explicitamente G=\nabla\times F. Lembrando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
\nabla\times F=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix},
onde F_1=xyz, F_2=y^{2}+1 e F_3=z^{3}.
Computando componente a componente (vou mostrar cada derivada):
  • Componente em \mathbf{i}:
(\nabla\times F)_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}+1\bigr)=0-0=0.
  • Componente em \mathbf{j}:
(\nabla\times F)_2=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xyz\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{3}\bigr)=xy-0=xy.
  • Componente em \mathbf{k}:
(\nabla\times F)_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}+1\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xyz\bigr)=0-xz=-xz.
Portanto
G=\nabla\times F=(0,\;xy,\;-xz).]

Passo 3

Método 1 — usar a identidade \operatorname{div}(\nabla\times F)=0 e o Teorema da Divergência (Gauss).
  • Primeiro calculemos \operatorname{div}G:
\operatorname{div}G=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial z}(-xz)=0 + x + (-x)=0.
  • O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial regular G e um volume V com fronteira S orientada para fora,
\iint_{S} G\bullet n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}G\,dV.
  • Aplicando ao nosso caso, como \operatorname{div}G=0 em todo V,
\iint_{S} G\bullet n\,dS=\iiint_{V}0\,dV=0.
Essa é uma solução curta e conceitual: o fluxo do rotacional através de uma superfície fechada é zero porque a divergência do rotacional é zero.

Passo 4

Método 2 — calcular diretamente o fluxo de G através das seis faces do cubo (soma das contribuições das faces), explicando orientação.
  • As seis faces são: x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. Em cada face usamos o vetor normal unitário apontando para fora do cubo.
  • Como G=(0,xy,-xz), o produto G\cdot n em cada face fica simples.
Face x=1:
  • Normal para fora é n=(1,0,0).
  • G\cdot n = 0 (primeira componente de G é zero).
  • Fluxo: \iint_{x=1} G\cdot n\,dS=0.
Face x=0:
  • Normal para fora é n=(-1,0,0).
  • G\cdot n = -0=0.
  • Fluxo: \iint_{x=0} G\cdot n\,dS=0.
Face y=1:
  • Normal para fora é n=(0,1,0).
  • G\cdot n = (\,xy\,)\big|_{y=1}=x.
  • A face y=1 tem parâmetros (x,z)\in[0,1]\times[0,1], então
\iint_{y=1} G\cdot n\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x\,dz\,dx =\int_{0}^{1} x\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)dx=\int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Face y=0:
  • Normal para fora é n=(0,-1,0).
  • G\cdot n = -(\,xy\,)\big|_{y=0} = -0 = 0.
  • Fluxo: \iint_{y=0} G\cdot n\,dS=0.
Face z=1:
  • Normal para fora é n=(0,0,1).
  • G\cdot n = -xz\big|_{z=1}=-x.
  • Parâmetros da face: (x,y)\in[0,1]\times[0,1], então
\iint_{z=1} G\cdot n\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (-x)\,dy\,dx =-\int_{0}^{1} x\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr)dx=-\int_{0}^{1} x\,dx=-\frac{1}{2}.
Face z=0:
  • Normal para fora é n=(0,0,-1).
  • G\cdot n = -\bigl(-xz\bigr)\big|_{z=0}=0.
  • Fluxo: \iint_{z=0} G\cdot n\,dS=0.
  • Somando todas as contribuições:
0+0+\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}+0=0.
Portanto o fluxo total através de S é 0. Essa segunda via é um cálculo direto e confirma o resultado do método 1.

Resposta

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