Sejam o campo vetorial F(x, y, z)=\left(x y z, y^{2}+1, z^{3}\right) e S é a superfície orientada positiva limitada pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1. Seja G=\operatorname{Rot} F, determinar de duas formas diferentes o valor da integral \iint_{S} G \bullet n d S, onde n é o vetor normal unitârio a S.
Passo 1
O enunciado dá:
O campo vetorial F(x,y,z)=\bigl(xyz,\;y^{2}+1,\;z^{3}\bigr).
A superfície S é a superfície orientada positivamente que limita o paralelepípedo com x, y, z variando em [0,1]. Ou seja, S é a casca do cubo unitário V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
Foi definido G=\operatorname{Rot}F=\nabla\times F.
O pedido:
Determinar por duas vias diferentes o valor da integral de superfície \displaystyle \iint_{S} G\bullet n\,dS, onde n é o vetor normal unitário a S com orientação positiva (normal apontando para fora do volume).
Passo 2
Primeiro vamos calcular explicitamente G=\nabla\times F. Lembrando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas: