( 2,5 pontos) Determine o polinômio interpolador pelo Método da Eliminação de Gauss para os seguintes pontos: (1,3),(2,-7),(3,11).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio interpolador, usando o Método da Eliminação de Gauss, que passa pelos pontos (1,3), (2,-7) e (3,11).
Informações dadas:
\\ (1,3), \\ (2,-7), \\ (3,11).
Pergunta: encontrar o polinômio de grau no máximo 2 que passa por esses três pontos (ou seja, os coeficientes do polinômio).

Passo 2

Escolhemos a forma genérica do polinômio de grau \le 2:
p(x)=ax^{2}+bx+c
Aqui a, b e c são os coeficientes desconhecidos que temos que determinar. Para cada ponto (x,y) impomos p(x)=y.

Passo 3

Substituindo os pontos em p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos o sistema linear:
\begin{cases} a\cdot 1^{2}+b\cdot 1 + c = 3\\[4pt] a\cdot 2^{2}+b\cdot 2 + c = -7\\[4pt] a\cdot 3^{2}+b\cdot 3 + c = 11 \end{cases}
Escrevendo em forma de matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3\\[4pt] 4 & 2 & 1 & | & -7\\[4pt] 9 & 3 & 1 & | & 11 \end{pmatrix}]

Passo 4

Aplicamos Eliminação de Gauss para triangularizar a matriz. Usamos a primeira linha como pivô e zeramos as entradas abaixo dela na primeira coluna.
Fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}-4R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-9R_{1}. Calculando:
R_{2} = (4,2,1\mid -7)-4(1,1,1\mid 3)=(0,-2,-3\mid -19)
R_{3} = (9,3,1\mid 11)-9(1,1,1\mid 3)=(0,-6,-8\mid -16)
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3\\[4pt] 0 & -2 & -3 & | & -19\\[4pt] 0 & -6 & -8 & | & -16 \end{pmatrix}]

Passo 5

Agora tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 (facilita a eliminação). Fazemos R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{2}:
R_{2}= -\tfrac{1}{2}(0,-2,-3\mid -19)=(0,1,\tfrac{3}{2}\mid \tfrac{19}{2})
Usando esse R_{2} pivot, zeramos a entrada embaixo dele na coluna 2 com R_{3}\leftarrow R_{3}+6R_{2}. Calculando:
R_{3}=(0,-6,-8\mid -16)+6(0,1,\tfrac{3}{2}\mid \tfrac{19}{2})=(0,0,1\mid 41)
A matriz agora é triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & | & \tfrac{19}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & | & 41 \end{pmatrix}]

Passo 6

Interpretação das linhas finais (equações correspondentes):
linha 3 dá \;1\cdot c = 41. Portanto
c=41.

Passo 7

Usando a linha 2, que é \;1\cdot b + \tfrac{3}{2}c = \tfrac{19}{2}, substituímos c:
b + \tfrac{3}{2}\cdot 41 = \tfrac{19}{2}.
Calculamos \tfrac{3}{2}\cdot 41 = \tfrac{123}{2}. Então
b + \tfrac{123}{2} = \tfrac{19}{2}.
Isolando b:
b = \tfrac{19}{2} - \tfrac{123}{2} = -\tfrac{104}{2} = -52.

Passo 8

Usando a linha 1, que é \;a + b + c = 3, substituímos b e c:
a + (-52) + 41 = 3.
Então
a -11 = 3 \quad\Rightarrow\quad a = 14.

Passo 9

Encontramos os coeficientes:
a=14,\quad b=-52,\quad c=41.
Montamos o polinômio interpolador:
p(x)=14x^{2}-52x+41.

Resposta

p(x)=14x^{2}-52x+41

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