(3 pontos) Resolva o sistema linear abaixo utilizando Fatoração LU sem pivoteamento parcial. Apresente a matrizes L e U e o vetor solução:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=9 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\[3pt] 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=9,\\[3pt] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=10, \end{cases}
utilizando fatoração LU sem pivoteamento parcial. Precisamos apresentar as matrizes L e U (com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior) e o vetor solução \mathbf{x}.
As informações dadas (coeficientes) podem ser colocadas na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\, com
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[3pt] 2 & 1 & 3\\[3pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\[3pt]9\\[3pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos construir A=LU pelo método de Doolittle (diagonal de L igual a 1). A ideia: eliminar abaixo do pivô da primeira coluna usando multiplicadores l_{i1}=a_{i1}/u_{11}. Aqui o primeiro pivô é
u_{11}=a_{11}=1.
Calculamos os multiplicadores da primeira coluna:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3.
Aplicamos as eliminações nas linhas 2 e 3: nova linha2 = linha2 - l_{21} \timeslinha1, nova linha3 = linha3 - l_{31} \timeslinha1. Faço as contas componente a componente:
linha2 original (2,\,1,\,3) menos 2 \timeslinha1 (2,\, -2,\,2)
(2-2,\;1-(-2),\;3-2)=(0,\;3,\;1).
linha3 original (3,\,2,\,1) menos 3 \timeslinha1 (3,\,-3,\,3)
(3-3,\;2-(-3),\;1-3)=(0,\;5,\;-2).
Após essa etapa a matriz superior (parcialmente) fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[3pt] 0 & 3 & 1\\[3pt] 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o segundo pivô é u_{22}=3. Calculamos o multiplicador da posição (3,2):
l_{32}=\frac{\text{(entrada (3,2) atual)}}{u_{22}}=\frac{5}{3}.
Eliminamos abaixo do pivô 2: nova linha3 = linha3 - l_{32} \timeslinha2. Fazendo a conta para a terceira linha:
componente 2: 5 - \frac{5}{3}\cdot 3 = 5-5=0.
componente 3: -2 - \frac{5}{3}\cdot 1 = -2 - \frac{5}{3} = -\frac{6}{3}-\frac{5}{3} = -\frac{11}{3}.
Assim a matriz U final é
U=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[3pt] 0 & 3 & 1\\[3pt] 0 & 0 & -\dfrac{11}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Recolhendo os multiplicadores em L (diagonal de uns) temos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[3pt] l_{21} & 1 & 0\\[3pt] l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[3pt] 2 & 1 & 0\\[3pt] 3 & \dfrac{5}{3} & 1 \end{pmatrix}.
Confirmamos que A=LU (pode-se multiplicar para checar, mas já seguimos o procedimento de eliminação).]

Passo 5

Agora resolvemos A\mathbf{x}=\mathbf{b} escrevendo LU\mathbf{x}=\mathbf{b}. Primeiro fazemos L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution). A regra geral de forward substitution para L com diagonal 1 é
y_1=b_1,\qquad y_i=b_i-\sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}y_j\quad (i=2,3).
Aplicando:
y_1=b_1=2.
y_2=b_2-l_{21}y_1=9-2\cdot 2=9-4=5.
y_3=b_3-l_{31}y_1-l_{32}y_2=10-3\cdot 2-\frac{5}{3}\cdot 5.
Calculo o último termo: 10-6-\frac{25}{3}=4-\frac{25}{3}=\frac{12-25}{3}=-\frac{13}{3}. Logo
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}2\\[3pt]5\\[3pt]-\dfrac{13}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos U\mathbf{x}=\mathbf{y} por back substitution. A regra geral é, para i=n,n-1,\dots,1,
x_i=\frac{1}{u_{ii}}\Big(y_i-\sum_{j=i+1}^{n} u_{ij}x_j\Big).
Começando por i=3:
u_{33}x_3 = y_3 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{11}{3}x_3 = -\frac{13}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3 ou dividindo, obtemos
x_3=\frac{-\frac{13}{3}}{-\frac{11}{3}}=\frac{13}{11}.
Agora i=2:
3x_2 + 1\cdot x_3 = y_2=5 \quad\Longrightarrow\quad 3x_2 = 5 - x_3 = 5 - \frac{13}{11} = \frac{55-13}{11}=\frac{42}{11}.
Logo
x_2=\frac{42}{11}\cdot\frac{1}{3}=\frac{42}{33}=\frac{14}{11}.
Finalmente i=1:
1\cdot x_1 + (-1)\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = y_1=2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2 + x_2 - x_3.
Substituindo:
x_1=2+\frac{14}{11}-\frac{13}{11}=2+\frac{1}{11}=\frac{23}{11}.
Portanto a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{11}\\[4pt]\dfrac{14}{11}\\[4pt]\dfrac{13}{11}\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[3pt]2 & 1 & 0\\[3pt]3 & \dfrac{5}{3} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[3pt]0 & 3 & 1\\[3pt]0 & 0 & -\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{11}\\[4pt]\dfrac{14}{11}\\[4pt]\dfrac{13}{11}\end{pmatrix}]

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