utilizando fatoração LU sem pivoteamento parcial. Precisamos apresentar as matrizes L e U (com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior) e o vetor solução \mathbf{x}.
As informações dadas (coeficientes) podem ser colocadas na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\, com
Vamos construir A=LU pelo método de Doolittle (diagonal de L igual a 1). A ideia: eliminar abaixo do pivô da primeira coluna usando multiplicadores l_{i1}=a_{i1}/u_{11}. Aqui o primeiro pivô é
Aplicamos as eliminações nas linhas 2 e 3: nova linha2 = linha2 -l_{21}\timeslinha1, nova linha3 = linha3 -l_{31}\timeslinha1. Faço as contas componente a componente:
linha2 original (2,\,1,\,3) menos 2\timeslinha1 (2,\, -2,\,2) dá
(2-2,\;1-(-2),\;3-2)=(0,\;3,\;1).
linha3 original (3,\,2,\,1) menos 3\timeslinha1 (3,\,-3,\,3) dá
(3-3,\;2-(-3),\;1-3)=(0,\;5,\;-2).
Após essa etapa a matriz superior (parcialmente) fica
Eliminamos abaixo do pivô 2: nova linha3 = linha3 -l_{32}\timeslinha2. Fazendo a conta para a terceira linha:
componente 2: 5 - \frac{5}{3}\cdot 3 = 5-5=0.
componente 3: -2 - \frac{5}{3}\cdot 1 = -2 - \frac{5}{3} = -\frac{6}{3}-\frac{5}{3} = -\frac{11}{3}.
Assim a matriz U final é
Confirmamos que A=LU (pode-se multiplicar para checar, mas já seguimos o procedimento de eliminação).]
Passo 5
Agora resolvemos A\mathbf{x}=\mathbf{b} escrevendo LU\mathbf{x}=\mathbf{b}. Primeiro fazemos L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution). A regra geral de forward substitution para L com diagonal 1 é