(3 pontos) Determine o ponto p=(a, b) no gráfico de y=raizx+2 que está mais próximo do ponto q=(3,0), e determine qual é a distância entre p e q. Faça um esboço gráfico da situação.

Passo 1

O enunciado pede o ponto p=(a,b) no gráfico de y=raizx+2 que minimize a distância até q=(3,0). Esse é um problema de otimização em que vamos escrever a distância em função de x, usar derivada para achar o mínimo e depois extrair a e b.

Passo 2

Seja p=(x,raizx+2). A distância de p a q é
D(x)=raiz(x-3)^2+l(raizx+2-0r)^2
Como minimizar D(x) é o mesmo que minimizar D(x)^2, definimos
f(x)=(x-3)^2+(x+2),
com domínio x>=-2.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=2(x-3)+1=2x-6+1=2x-5
Para extremo crítico, f'(x)=0 leva a
2x-5=0 Longrightarrow x=tfrac52
Como f''(x)=2>0, esse ponto é de mínimo.

Passo 4

A coordenada y correspondente é
y=raiztfrac52+2=raiztfrac92=tfrac3raiz2=tfrac3raiz22
Logo o ponto buscado é
p=l(tfrac52,,tfrac3raiz22r)

Passo 5

A distância mínima vale
Dmin=raiz(x-3)^2+(x+2)|x=5/2 =raiztfrac14+tfrac92 =raiztfrac194 =tfracraiz192

Passo 6

Esboço gráfico da situação:
   y
   ↑
 3 |           *
   |          /
 2 |        *
   |       /
 1 |     *
   |    /
 0 |_*_/________> x
    -2  0   2.5  3
• curva y=raizx+2 saindo de (-2,0)
• ponto p=(2,5,2,12) (em * na curva)
• ponto q=(3,0) (em * no eixo)
• segmento ligando p a q é a menor distância.

Resposta

p=l(tfrac52,tfrac3raiz22r)
Distância mínima =tfracraiz192.

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