Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
(x-2)(x+5) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-2)(x+5)>= 0
Isso é uma inequação de segundo grau em forma fatorada. Para resolvê-la, vamos usar o método de análise de sinais: primeiro identificamos as raízes (onde cada fator é zero) e depois vemos em quais intervalos o produto fica não-negativo.

Passo 2

Encontramos as raízes dos fatores:
x-2=0implies x=2, x+5=0implies x=-5

Passo 3

Dividimos a reta real nos intervalos determinados pelas raízes e testamos o sinal de (x-2)(x+5) em cada um:
  • Para x<-5, por exemplo x=-6:
    (-6-2)cdot(-6+5)=(-8)cdot(-1)=8>0.
  • Para -5<x<2, por exemplo x=0:
    (0-2)cdot(0+5)=(-2)cdot5=-10<0.
  • Para x>2, por exemplo x=3:
    (3-2)cdot(3+5)=1cdot8=8>0.
    Em x=-5 ou x=2 o produto é zero, e a inequação permite valor zero ( >=0).

Passo 4

Como queremos (x-2)(x+5)>=0, escolhemos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. Isso ocorre em
(-infty,-5]e[2,infty)

Resposta

(-infty,-5]cup[2,infty)

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