(2 pontos) Determine os pontos em que a função
é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos
(ou seja,
) onde a função
é complexamente diferenciável.
O conteúdo aqui é o de diferenciação de funções de variável complexa e vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que precisam valer e ter derivadas parciais contínuas para garantir a diferenciabilidade.
O conteúdo aqui é o de diferenciação de funções de variável complexa e vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que precisam valer e ter derivadas parciais contínuas para garantir a diferenciabilidade.
Passo 2
Separamos
em parte real
e imaginária
:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
ou seja
Passo 5
A primeira equação é sempre satisfeita, e a segunda dá
Logo a única condição para diferenciabilidade é
.
Resposta
A função
é complexamente diferenciável exatamente nos pontos em que
isto é, ao longo do eixo real (
) e ao longo do eixo imaginário (
).