(2 pontos) Determine os pontos em que a função f(z)=x^3+3 x y^2+i(y^3+3 x^2 y) é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos (x,y) (ou seja, z=x+iy) onde a função
f(z)=x^3+3xy^2+il(y^3+3x^2yr)
é complexamente diferenciável.
O conteúdo aqui é o de diferenciação de funções de variável complexa e vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que precisam valer e ter derivadas parciais contínuas para garantir a diferenciabilidade.

Passo 2

Separamos f em parte real u(x,y) e imaginária v(x,y):
u(x,y)=x^3+3xy^2, v(x,y)=y^3+3x^2y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux=partialpartial xl(x^3+3xy^2r)=3x^2+3y^2, uy=partialpartial yl(x^3+3xy^2r)=6xy,
vx=partialpartial xl(y^3+3x^2yr)=6xy, vy=partialpartial yl(y^3+3x^2yr)=3y^2+3x^2

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
ux = vy, uy = -,vx,
ou seja
3x^2+3y^2=3y^2+3x^2 e 6xy = -6xy

Passo 5

A primeira equação é sempre satisfeita, e a segunda dá
6xy = -6xy Longrightarrow 12,xy=0 Longrightarrow xy=0
Logo a única condição para diferenciabilidade é xy=0.

Resposta

A função f é complexamente diferenciável exatamente nos pontos em que
xy=0,
isto é, ao longo do eixo real ( y=0) e ao longo do eixo imaginário ( x=0).

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