Questão 3. (Exatas) Verifique se são EDOs exatas e resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
com condição inicial
y(1)=3 . Isto cai no conteúdo de equações exatas, pois podemos escrever a diferencial como
Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita e depois explícita.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
onde, a partir de
(x-2y),dy=(2x-y),dx , podemos tomar
Passo 3
Verificamos a exatidão conferindo
Como
partial M/partial y=partial N/partial x , a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
psi(x,y) tal que
Integrando em
x :
onde
h(y) é função a determinar.
Passo 5
Diferenciando
psi em relação a
y e igualando a
N :
Logo
e a solução implícita é
Passo 6
Usamos a condição inicial
y(1)=3 :
logo
C=-7 . A solução implícita final é
Passo 7
Para obter
y em função de
x , reescrevemos
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Como em
x=1 precisamos de
y(1)=3 , escolhemos o sinal “
+ ”
Resposta
A equação é exata e sua solução geral implícita é
Implictamente, a solução com
y(1)=3 é