Questão 3. (Exatas) Verifique se são EDOs exatas e resolva:
y^prime & =2 x-yx-2 y y(1) & =3

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y'=2x-y,x-2y,,
com condição inicial y(1)=3. Isto cai no conteúdo de equações exatas, pois podemos escrever a diferencial como
(x-2y),dy-(2x-y),dx=0
Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita e depois explícita.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
onde, a partir de (x-2y),dy=(2x-y),dx, podemos tomar
M(x,y)=y-2x, N(x,y)=x-2y

Passo 3

Verificamos a exatidão conferindo
partial Mpartial y =partialpartial y(y-2x)=1, partial Npartial x =partialpartial x(x-2y)=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M=y-2x, partial psipartial y=N=x-2y
Integrando em x:
psi(x,y) =integral (y-2x),dx =xy-x^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Diferenciando psi em relação a y e igualando a N:
partial psipartial y =x+h'(y) =x-2y Longrightarrow h'(y)=-2y Longrightarrow h(y)=-y^2+C
Logo
psi(x,y)=xy-x^2-y^2
e a solução implícita é
xy-x^2-y^2=C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=3:
1cdot 3-1^2-3^2 =3-1-9=-7,
logo C=-7. A solução implícita final é
xy-x^2-y^2=-7

Passo 7

Para obter y em função de x, reescrevemos
y^2 -x,y+l(x^2-7r)=0
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
y(x) =xpmraizx^2-4(x^2-7)2 =xpmraiz28-3x^22
Como em x=1 precisamos de y(1)=3, escolhemos o sinal “ +
y(x) =x+raiz28-3x^22

Resposta

A equação é exata e sua solução geral implícita é
xy-x^2-y^2=-7
Implictamente, a solução com y(1)=3 é
y(x)=x+raiz28-3x^22

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