(2,5 pontos) Determine a solução do PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. O enunciado pede para encontrar a solução da equação
com as condições iniciais
Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações características, que é uma técnica fundamental em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos formar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação diferencial dada é de terceira ordem, então substituímos $ y $ por $ e^{rt} $ para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Fazendo isso, obtemos:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Para isso, tentamos fatorar o polinômio.
Observando os coeficientes, percebemos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque substituindo na equação:
Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação:
Isso nos dá as raízes:
onde $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz real simples ($ r = 1
r = i $ e $ r = -i $), a solução geral é:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $.
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(t) $:
Aplicando as condições iniciais:
- Para $ t = 0 $:
- Para $ t = 0 $:
- Para $ t = 0 $:
Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
- Somando as duas primeiras equações:
Mas sabemos que $ C_1 + C_2 = 1 $, então substituindo:
que já temos como a segunda equação. Então, vamos resolver diretamente:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, $ C_2 = 1 - 1 = 0 $.
Substituindo $ C_1 = 1 $ na segunda equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é