(2,5 pontos) Determine a solução do PVI abaixo:
l y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=0 y(0)=1, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. O enunciado pede para encontrar a solução da equação
y''' - y'' + y' - y = 0
com as condições iniciais
y(0) = 1, y'(0) = 2, y''(0) = 1
Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações características, que é uma técnica fundamental em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos formar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação diferencial dada é de terceira ordem, então substituímos $ y $ por $ e^{rt} $ para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Fazendo isso, obtemos:
y
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Para isso, tentamos fatorar o polinômio.
Observando os coeficientes, percebemos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque substituindo na equação:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação:
r
Isso nos dá as raízes:
r = 1
onde $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz real simples ($ r = 1 r = 1 í r = i $ e $ r = -i $), a solução geral é:
r = i
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $.
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(t) $:
C1
C2
Aplicando as condições iniciais:
  1. Para $ t = 0 $:
C3
  1. Para $ t = 0 $:
y(t)
  1. Para $ t = 0 $:
y'(t) = C1 e^t - C2 sin(t) + C3 cos(t),
Agora temos um sistema de equações:
y''(t) = C1 e^t - C2 cos(t) - C3 sin(t)
Resolvendo o sistema:
  • Somando as duas primeiras equações:
t = 0
Mas sabemos que $ C_1 + C_2 = 1 $, então substituindo:
y(0) = C1 e^0 + C2 cos(0) + C3 sin(0) Rightarrow 1 = C1 + C2
que já temos como a segunda equação. Então, vamos resolver diretamente:
Da terceira equação:
t = 0
Substituindo na primeira equação:
y'(0) = C1 e^0 - C2 sin(0) + C3 cos(0) Rightarrow 2 = C1 + C3
Então, $ C_2 = 1 - 1 = 0 $.
Substituindo $ C_1 = 1 $ na segunda equação:
t = 0

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^t + sin(t)

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