Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de:
.
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis no ponto crítico, e vamos usar derivadas parciais e o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana).
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
Da segunda equação vem
. Substituindo em
dá
, então
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Calculamos agora as derivadas parciais de segunda ordem para montar a Hessiana:
Passo 4
Avaliamos essas derivadas em
:
O determinante da Hessiana é
Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.