Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de:
f(x, y)=e^x-x e^y.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis f(x,y)=e^x - x e^y. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis no ponto crítico, e vamos usar derivadas parciais e o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
partial fpartial x=e^x - e^y=0,
partial fpartial y=-x e^y=0
Da segunda equação vem x=0. Substituindo em e^x=e^y e^0=e^y, então y=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Calculamos agora as derivadas parciais de segunda ordem para montar a Hessiana:
fxx=e^x,
fxy=-e^y,
fyy=-x e^y

Passo 4

Avaliamos essas derivadas em (0,0):
fxx(0,0)=1,
fxy(0,0)=-1,
fyy(0,0)=0
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=1cdot0-(-1)^2=-1<0
Como D<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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