(2,5 pontos) Determine a solução do PVI abaixo:
x^prime=(cc 5 & -1 3 & 1 ) x, x(0)=binom0-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve um sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá uma matriz $ A $ e uma condição inicial $ \boldsymbol{x}(0) = A $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de autovalores e autovetores para sistemas lineares. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
A
Aqui, $ I $ é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
lambda
A determinante é:
det(A - lambda I) = 0
Expandindo:
I
Então:
A - lambda I = 5 - lambda & -1 3 & 1 - lambda
Resolvendo a equação quadrática:
det(A - lambda I) = (5 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(3) = (5 - lambda)(1 - lambda) + 3
Portanto, os autovalores são:
(5 - lambda)(1 - lambda) = 5(1) - 5lambda - lambda(1) + lambda^2 = 5 - 5lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 5

Passo 3

Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 = 4 $ e $ \lambda_2 = 2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para $ \lambda_1 = 4 $:
Resolvemos $ (A - 4I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $:
lambda1 = 4
Isso nos dá o sistema:
lambda2 = 2
Simplificando, temos $ v_1 = v_2 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o autovetor é:
lambda1 = 4
Para $ \lambda_2 = 2 $:
Resolvemos $ (A - 2I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $:
(A - 4I)v = 0
Isso nos dá o sistema:
A - 4I = 5 - 4 & -1 3 & 1 - 4 = 1 & -1 3 & -3
Simplificando, temos $ v_2 = 3v_1 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o autovetor é:
v1 - v2 = 0 3v1 - 3v2 = 0

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema $ \boldsymbol{x}’ = A\boldsymbol{x} $ é dada por uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x' = Ax
Substituindo os valores:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Isso significa:
x(t) = c1 e^4t 1 1 + c2 e^2t 1 3

Passo 5

Agora, precisamos aplicar a condição inicial $ \boldsymbol{x}(0) = x(0) = 0 -2 $ para encontrar os constantes $ c_1 $ e $ c_2 $.
Substituindo $ t = 0 $:
c1
Isso resulta no sistema:
c2
Resolvendo a primeira equação para $ c_1 $:
t = 0
Substituindo na segunda equação:
x(0) = c1 e^0 1 1 + c2 e^0 1 3 = c1 1 1 + c2 1 3 = 0 -2
Então:
c1 + c2 = 0 c1 + 3c2 = -2

Resposta

A solução do PVI é:
x(t) = e^4t 1 1 - e^2t 1 3
ou, separadamente,
x(t) = e^4t - e^2t
y(t) = e^4t - 3e^2t

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