(2,5 pontos) Determine a solução do PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve um sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá uma matriz $ A $ e uma condição inicial $ \boldsymbol{x}(0) =
$. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de autovalores e autovetores para sistemas lineares. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
Aqui, $ I $ é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
A determinante é:
Expandindo:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 = 4 $ e $ \lambda_2 = 2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para $ \lambda_1 = 4 $:
Resolvemos $ (A - 4I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos $ v_1 = v_2 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o autovetor é:
Para $ \lambda_2 = 2 $:
Resolvemos $ (A - 2I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos $ v_2 = 3v_1 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema $ \boldsymbol{x}’ = A\boldsymbol{x} $ é dada por uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores:
Isso significa:
Passo 5
Agora, precisamos aplicar a condição inicial $ \boldsymbol{x}(0) =
$ para encontrar os constantes $ c_1 $ e $ c_2 $.
Substituindo $ t = 0 $:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo a primeira equação para $ c_1 $:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Resposta
A solução do PVI é:
ou, separadamente,