1^circ ) Questão (12, 0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos cada).
Dada uma função vetorial r(t) in R^3, de classe C^2, então prove que:
d Td s=kappa N e d Bd s perp T

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva r(t) de classe C^2 em R^3 e pede para provar duas identidades do sistema de Frenet:
  1. dTds=kappa,N, onde T é o vetor tangente unitário, kappa a curvatura e N o vetor normal principal;
  2. dBdsperp T, onde B é o binormal.
    Usaremos as definições
s é o parâmetro de arco, T=drds, kappa=l|dTdsr|, N=1kappadTds, B=Ttimes N éâ

Passo 2

Prova de dTds=kappa,N.
Como T(s) é unitário, lang<= T,Trang<==1. Diferenciando em s obtemos
ddslang<= T,Trang<= =2llang<= T,dTdsrrang<= =0 Longrightarrow llang<= T,dTdsrrang<==0,
ou seja, dTds é ortogonal a T. Definimos
kappa=l|dTdsr|,
e, sempre que kappaneq0, o vetor normal principal
N=1kappa,dTds
Reescrevendo, chega-se diretamente a
dTds=kappa,N

Passo 3

Prova de dBdsperp T.
Como B=Ttimes N, tem-se
dBds =dds(Ttimes N) =dTdstimes N +TtimesdNds
Para mostrar que esse vetor é perpendicular a T, calculamos
llang<= T,dBdsrrang<= =llang<= T,dTdstimes Nrrang<= +llang<= T,,TtimesdNdsrrang<=
O segundo termo é zero porque qualquer produto vetorial com T é ortogonal a T. No primeiro, usando dTds=kappa N, vem
dTdstimes N =kappa,(Ntimes N)=0,
logo lang<= T,tfracdBdsrang<==0, o que mostra que tfracdBdsperp T.

Resposta

dTds=kappa,N e dBdsperp T

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