) Questão (12, 0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos cada).
Dada uma função vetorial
, de classe
, então prove que:
Dada uma função vetorial
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva
de classe
em
e pede para provar duas identidades do sistema de Frenet:
-
, onde é o vetor tangente unitário, a curvatura e o vetor normal principal; -
, onde é o binormal.
Usaremos as definições
Passo 2
Prova de
dTds=kappa,N .
ComoT(s) é unitário,
lang<= T,Trang<==1 . Diferenciando em
s obtemos
Como
ou seja,
dTds é ortogonal a
T . Definimos
e, sempre que
kappaneq0 , o vetor normal principal
Reescrevendo, chega-se diretamente a
Passo 3
Prova de
dBdsperp T .
ComoB=Ttimes N , tem-se
Como
Para mostrar que esse vetor é perpendicular a
T , calculamos
O segundo termo é zero porque qualquer produto vetorial com
T é ortogonal a
T . No primeiro, usando
dTds=kappa N , vem
logo
lang<= T,tfracdBdsrang<==0 , o que mostra que
tfracdBdsperp T .