(3, 0 pontos): Determine para quais valores de a in R o sistema
x+2 y-3 z & =4 3 x-y-14 z & =-2 x+2 y+(a^2-12) z & =a+7
possui:
(a) uma única solução;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+2y-3z=4, 3x-y-tfrac14 z=-2, x+2y+(a^2-12)z=a+7,
com parâmetro ainR. Vamos usar a teoria de sistemas lineares: computar o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há solução única e, nos casos singulares ( det=0), verificar consistência (posto da matriz de coeficientes vs. posto da matriz ampliada).

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A= 1&2&-3 3&-1&-tfrac14 1&2&a^2-12
Calculando
det A=-7,(a-3)(a+3)
Portanto, se aneqpm3 temos det Aneq0 e o sistema admite solução única.

Passo 3

Para a=3 temos a^2-12=9-12=-3 e a 3ª equação vira
x+2y-3z=3+7=10,
que é incompatível com a 1ª x+2y-3z=4. Logo, para a=3 o sistema não tem solução.

Passo 4

Para a=-3 ainda a^2-12=-3, e a 3ª equação passa a ser
x+2y-3z=-3+7=4,
idêntica à 1ª. Assim o posto da matriz de coeficientes é 2 e o sistema reduz-se a duas equações independentes em três incógnitas, logo há infinitas soluções.

Resposta

(a) aneq -3,3
(b) a=-3
(c) a=3

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