Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo. ponto): Se o conjunto {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é LI, então {{3 \vec{u}, 2 \vec{u}+\vec{w}, 4 \vec{u}+\vec{v}+2 \vec{w}}) é LI.
Passo 1
O enunciado afirma: se o conjunto é linearmente independente (LI), então o conjunto
também é LI. O conteúdo usado será a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Suponhamos que existam escalares tais que
Passo 3
Expanda a combinação agrupando os coeficientes de :
Passo 4
Como é LI, para que essa soma seja é necessário que cada coeficiente seja zero:
Passo 5
Da segunda equação vem c=0. Substituindo em b+2c=0 obtemos b=0. Por fim, com b=0 e c=0 na primeira equação temos 3a=0, logo a=0. Concluímos que a única combinação que anula é a trivial.