Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(0,5 ponto): Se o conjunto {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é LI, então {{3 \vec{u}, 2 \vec{u}+\vec{w}, 4 \vec{u}+\vec{v}+2 \vec{w}}) é LI.

Passo 1

O enunciado afirma: se o conjunto vec u,vec v,vec w é linearmente independente (LI), então o conjunto
,3vec u,;2vec u+vec w,;4vec u+vec v+2vec w
também é LI. O conteúdo usado será a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Suponhamos que existam escalares a,b,c tais que
a,(3vec u);+;b,(2vec u+vec w);+;c,(4vec u+vec v+2vec w);=;vec0

Passo 3

Expanda a combinação agrupando os coeficientes de vec u,vec v,vec w:
(3a+2b+4c),vec u ;+;c,vec v ;+;(b+2c),vec w ;=;vec0

Passo 4

Como vec u,vec v,vec w é LI, para que essa soma seja vec0 é necessário que cada coeficiente seja zero:
3a + 2b + 4c = 0, c = 0, b + 2c = 0

Passo 5

Da segunda equação vem c=0. Substituindo em b+2c=0 obtemos b=0. Por fim, com b=0 e c=0 na primeira equação temos 3a=0, logo a=0. Concluímos que a única combinação que anula é a trivial.

Resposta

A afirmação é Verdadeira.

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