( 2,0 pontos) Determine os valores da a que tornam a função f contínua :
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} e^{x^{2}}+2 a, \quad \text { se } x \geq 0 \\ x+4, \quad \text { se } x \leq 0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de a que tornam a função f contínua, onde
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x}\,e^{x^{2}}+2a, \quad \text{se } x\geq 0,\\[4pt] x+4, \quad \text{se } x\leq 0. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida por duas expressões, uma válida para x\geq 0 e outra para x\leq 0.
  • As duas expressões se sobrepõem em x=0 (ambas dão um valor em 0).
  • Precisamos escolher a de modo que f seja contínua em todo o domínio (logo, especialmente em x=0).]

Passo 2

Conceito importante (a mini-aula): definição de continuidade num ponto.
Uma função g é contínua em x=c se, e só se,
\lim_{x\to c} g(x) = g\text{(c)}.
Para funções definidas por partes, costuma-se verificar:
  • continuidade em pontos internos de cada ramo (onde a expressão única vale): normalmente esses ramos são funções elementares contínuas, então não há problema;
  • os pontos de fronteira entre ramos (aqui x=0) precisam de atenção: devemos ter limite pela esquerda igual ao limite pela direita igual ao valor da função em 0.
Então, para f a única possível descontinuidade é em x=0. Para x>0 e x<0 cada ramo é composto por funções contínuas:
  • x\mapsto \sqrt{x}\,e^{x^{2}} é contínua em [0,\infty), e somar 2a mantém continuidade;
  • x\mapsto x+4 é uma reta, contínua em (-\infty,0].
    Portanto basta garantir continuidade em x=0.

Passo 3

Calcular os valores das duas definições no ponto x=0.
Valor dado pelo ramo direito ( x\geq 0):
f(0)=\sqrt{0}\,e^{0^{2}}+2a = 0\cdot 1 + 2a = 2a.
Valor dado pelo ramo esquerdo ( x\leq 0):
f(0)=0+4 = 4.
Observação: como ambas as expressões atribuem um valor em x=0, a função só pode ser bem definida se esses dois valores coincidirem. Mesmo sem pensar em limites, a unicidade do valor em 0 exige 2a=4. Mas vamos também ver pelo critério de limites, para ser didático.

Passo 4

Calcular limites laterais em x\to 0.
Limite pela direita ( x\to 0^+):
\lim_{x\to 0^+}\big(\sqrt{x}\,e^{x^{2}}+2a\big) = \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}\,e^{x^{2}} + 2a.
Agora, \sqrt{x}\to 0 quando x\to 0^+ e e^{x^{2}}\to e^{0}=1. Como produto de termos com limite finito,
\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}\,e^{x^{2}} = 0\cdot 1 = 0.
Logo
\lim_{x\to 0^+}f(x) = 0 + 2a = 2a.
Limite pela esquerda ( x\to 0^-):
\lim_{x\to 0^-}(x+4) = 0+4 = 4.

Passo 5

Condição de continuidade em x=0: os dois limites laterais devem ser iguais e iguais ao valor da função em 0. Portanto exigimos
\lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^+}f(x),
ou seja
4 = 2a.
Resolver para a:
2a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 2.

Passo 6

Verificação final rápida: com a=2,
  • valor à direita em 0 é 2a = 4;
  • valor à esquerda em 0 é 4;
  • limites laterais calculados anteriormente são 2a=4 (direita) e 4 (esquerda).
    Portanto \lim_{x\to 0} f(x)=4=f(0), e como os ramos são contínuos nas suas partes internas, f é contínua em todo o domínio quando a=2. Boa! Você conseguiu — só ajustar esse a que casa os dois lados.

Resposta

a=2

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