( 2,0 pontos) Determine os valores da
que tornam a função
contínua :
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
que tornam a função
contínua, onde
Informações relevantes dadas:
- A função está definida por duas expressões, uma válida para
e outra para . - As duas expressões se sobrepõem em
(ambas dão um valor em ). - Precisamos escolher
de modo que seja contínua em todo o domínio (logo, especialmente em ).]
Passo 2
Conceito importante (a mini-aula): definição de continuidade num ponto.
Uma função é contínua em
se, e só se,
Uma função
Para funções definidas por partes, costuma-se verificar:
- continuidade em pontos internos de cada ramo (onde a expressão única vale): normalmente esses ramos são funções elementares contínuas, então não há problema;
- os pontos de fronteira entre ramos (aqui
) precisam de atenção: devemos ter limite pela esquerda igual ao limite pela direita igual ao valor da função em .
Então, para
a única possível descontinuidade é em
. Para
e
cada ramo é composto por funções contínuas:
-
é contínua em , e somar mantém continuidade; -
é uma reta, contínua em .
Portanto basta garantir continuidade em.
Passo 3
Calcular os valores das duas definições no ponto
.
Valor dado pelo ramo direito ( ):
Valor dado pelo ramo direito (
Valor dado pelo ramo esquerdo (
):
Observação: como ambas as expressões atribuem um valor em
, a função só pode ser bem definida se esses dois valores coincidirem. Mesmo sem pensar em limites, a unicidade do valor em
exige
. Mas vamos também ver pelo critério de limites, para ser didático.
Passo 4
Calcular limites laterais em
.
Limite pela direita ( ):
Limite pela direita (
Agora,
quando
e
. Como produto de termos com limite finito,
Logo
Limite pela esquerda (
):
Passo 5
Condição de continuidade em
: os dois limites laterais devem ser iguais e iguais ao valor da função em
. Portanto exigimos
ou seja
Resolver para
:
Passo 6
Verificação final rápida: com
,
- valor à direita em
é ; - valor à esquerda em
é ; - limites laterais calculados anteriormente são
(direita) e (esquerda).
Portanto, e como os ramos são contínuos nas suas partes internas, é contínua em todo o domínio quando . Boa! Você conseguiu — só ajustar esse que casa os dois lados.