(2, 0 pontos) Determine, se possível, a inversa da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
O que é pedido: determinar, se possível, a inversa de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- •A função está definida para todo
(dois ramos cobrem e ). - •O primeiro ramo é
válido para . - •O segundo ramo é
válido para .
Passo 2
Primeiro passo técnico: identificar o domínio de
. O enunciado dá expressões para todo
e para todo
, então o domínio de
é
(todos os reais). Não estamos resolvendo ainda, só anotando: domínio
.
Para existir inversa precisamos que
seja bijetora (injectiva e sobrejetiva) entre domínio e imagem. Vamos estudar injetividade localmente em cada ramo.
Explicação didática rápida: uma função é injetora se valores diferentes de entrada produzem valores diferentes de saída. Uma maneira prática é checar se cada ramo é estritamente monotônico (sempre crescente ou sempre decrescente) no seu intervalo, porque ramo monotônico estrito implica injetividade naquele ramo.
- No ramo
: . Isto é uma reta com coeficiente angular , portanto cresce estritamente quando aumenta. Logo é estritamente crescente em e, portanto, injetiva nesse intervalo. - No ramo
: . Sabemos que é estritamente crescente em , então também é estritamente crescente em . Logo é injetiva nesse intervalo.
Passo 3
Agora vou encontrar a imagem (o conjunto de valores) de cada ramo — isso é essencial para construir a inversa e para ver se há sobreposição de valores entre ramos.
- Ramo
, com . À medida que , . Quando se aproxima de pela esquerda, se aproxima de por baixo, mas não atinge porque nunca é neste ramo. Portanto a imagem de é
- Ramo
, com . O menor valor ocorre em , dando . À medida que , . Assim a imagem de é
Observação importante: o valor
é atingido no ramo
(em
), mas não é atingido no ramo
(apenas se aproxima).
Passo 4
Combinação das imagens:
. Logo
é sobrejetora para
.
Verificação final de injetividade global: cada ramo é injetivo nos seus intervalos e as imagens dos ramos não se sobrepõem (a interseção é vazia quanto a valores repetidos, porque
produz apenas valores
e
produz valores
). Assim não há dois
distintos com a mesma imagem. Portanto
é injetiva globalmente. Conclusão:
é bijetora de
em
, então a inversa
existe e tem domínio
.
Passo 5
Agora vamos construir a inversa explicitamente. O procedimento geral: escrevemos
e resolvemos para
em função de
, tendo sempre em mente as restrições de intervalo que ligam cada ramo do
aos correspondentes valores de
. Depois trocamos
por
para escrever
, se preferirmos.
Passo 6
Inversa do primeiro ramo (valores menores que
):
- Para
temos . Resolver para dá
- Como vimos, os valores
produzidos por esse ramo são . Portanto a inversa neste trecho é válida para .
Convertendo para a notação usual da inversa (substituindo
por
): o ramo correspondente de
é
Passo 7
Inversa do segundo ramo (valores maiores ou iguais a
):
- Para
temos . Resolver para dá
- A função logaritmo natural
exige argumento positivo, isto é , ou . Mas o ramo em questão só produz , que satisfaz . Portanto não há problema — restringimos para .
Convertendo para a notação usual (trocando
por
): o ramo correspondente de
é
Passo 8
Juntando os dois ramos da inversa, obtém-se [f^{-1}) definida por partes, com domínio
(ou explicitamente, as condições em cada ramo dependem do valor do argumento da inversa):
Breve verificação mental: para
, que é coerente com
. Para, digamos,
(na inversa) usamos o primeiro ramo e obtemos
, e isso é coerente com
.]