(2, 0 pontos) Determine, se possível, a inversa da função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+4 & \text { se } x<0 \\\ e^{x}+3 & \text { se } x \geq 0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x+4 & \text{se } x<0,\\[4pt] e^{x}+3 & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
O que é pedido: determinar, se possível, a inversa de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (dois ramos cobrem x<0 e x\ge 0).
  • O primeiro ramo é x+4 válido para x<0.
  • O segundo ramo é e^{x}+3 válido para x\ge 0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: identificar o domínio de f. O enunciado dá expressões para todo x<0 e para todo x\ge 0, então o domínio de f é \mathbb{R} (todos os reais). Não estamos resolvendo ainda, só anotando: domínio \mathrm{Dom}(f)=(-\infty,\infty).
Para existir inversa precisamos que f seja bijetora (injectiva e sobrejetiva) entre domínio e imagem. Vamos estudar injetividade localmente em cada ramo.
Explicação didática rápida: uma função é injetora se valores diferentes de entrada produzem valores diferentes de saída. Uma maneira prática é checar se cada ramo é estritamente monotônico (sempre crescente ou sempre decrescente) no seu intervalo, porque ramo monotônico estrito implica injetividade naquele ramo.
  • No ramo x<0: f_1(x)=x+4. Isto é uma reta com coeficiente angular 1, portanto cresce estritamente quando x aumenta. Logo f_1 é estritamente crescente em (-\infty,0) e, portanto, injetiva nesse intervalo.
  • No ramo x\ge 0: f_2(x)=e^{x}+3. Sabemos que e^{x} é estritamente crescente em \mathbb{R}, então e^{x}+3 também é estritamente crescente em [0,\infty). Logo f_2 é injetiva nesse intervalo.

Passo 3

Agora vou encontrar a imagem (o conjunto de valores) de cada ramo — isso é essencial para construir a inversa e para ver se há sobreposição de valores entre ramos.
  • Ramo f_1(x)=x+4, com x<0. À medida que x\to -\infty, x+4\to -\infty. Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, x+4 se aproxima de 4 por baixo, mas não atinge 4 porque x nunca é 0 neste ramo. Portanto a imagem de f_1 é
\mathrm{Im}(f_1)=(-\infty,4).
  • Ramo f_2(x)=e^{x}+3, com x\ge 0. O menor valor ocorre em x=0, dando e^{0}+3=1+3=4. À medida que x\to\infty, e^{x}+3\to\infty. Assim a imagem de f_2 é
\mathrm{Im}(f_2)=[4,\infty).
Observação importante: o valor 4 é atingido no ramo f_2 (em x=0), mas não é atingido no ramo f_1 (apenas se aproxima).

Passo 4

Combinação das imagens: \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f_1)\cup\mathrm{Im}(f_2)=(-\infty,4)\cup[4,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}. Logo f é sobrejetora para \mathbb{R}.
Verificação final de injetividade global: cada ramo é injetivo nos seus intervalos e as imagens dos ramos não se sobrepõem (a interseção é vazia quanto a valores repetidos, porque f_1 produz apenas valores <4 e f_2 produz valores \ge 4). Assim não há dois x distintos com a mesma imagem. Portanto f é injetiva globalmente. Conclusão: f é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}, então a inversa f^{-1} existe e tem domínio \mathbb{R}.

Passo 5

Agora vamos construir a inversa explicitamente. O procedimento geral: escrevemos y=f(x) e resolvemos para x em função de y, tendo sempre em mente as restrições de intervalo que ligam cada ramo do x aos correspondentes valores de y. Depois trocamos y por x para escrever f^{-1}(x), se preferirmos.

Passo 6

Inversa do primeiro ramo (valores menores que 4):
  • Para x<0 temos y=x+4. Resolver para x
x=y-4.
  • Como vimos, os valores y produzidos por esse ramo são y\in(-\infty,4). Portanto a inversa neste trecho é x=y-4 válida para y<4.
Convertendo para a notação usual da inversa (substituindo y por x): o ramo correspondente de f^{-1} é
f^{-1}(x)=x-4\quad\text{quando }x<4.

Passo 7

Inversa do segundo ramo (valores maiores ou iguais a 4):
  • Para x\ge 0 temos y=e^{x}+3. Resolver para x
y-3=e^{x}\quad\Rightarrow\quad x=\ln(y-3).
  • A função logaritmo natural \ln(\cdot) exige argumento positivo, isto é y-3>0, ou y>3. Mas o ramo em questão só produz y\ge 4, que satisfaz y>3. Portanto não há problema — restringimos para y\ge 4.
Convertendo para a notação usual (trocando y por x): o ramo correspondente de f^{-1} é
f^{-1}(x)=\ln(x-3)\quad\text{quando }x\ge 4.

Passo 8

Juntando os dois ramos da inversa, obtém-se [f^{-1}) definida por partes, com domínio \mathbb{R} (ou explicitamente, as condições em cada ramo dependem do valor do argumento da inversa):
f^{-1}(x)=\begin{cases} x-4 & \text{se } x<4,\\[6pt] \ln(x-3) & \text{se } x\ge 4. \end{cases}
Breve verificação mental: para x=4\] usamos o segundo ramo e obtemos \(f^{-1}(4)=\ln(1)=0, que é coerente com f(0)=e^{0}+3=4. Para, digamos, x=0 (na inversa) usamos o primeiro ramo e obtemos f^{-1}(0)=0-4=-4, e isso é coerente com f(-4)=(-4)+4=0.]

Resposta

f^{-1}(x)=\begin{cases} x-4 & \text{se } x<4,\\[6pt] \ln(x-3) & \text{se } x\ge 4. \end{cases}]

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