Determine, se existirem:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}, sendo x>0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine, quando existir, o valor do limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h},
sujeito à condição x>0. Informações relevantes dadas pelo enunciado: x é um número fixo e positivo e a variável que tende a zero é h. Temos também a observação implícita de que as raízes quadradas só estão definidas quando x+h\ge 0, então precisamos que h seja suficientemente próximo de 0 de modo que x+h>0 (isso é garantido porque x>0).

Passo 2

Primeira ideia para simplificar essa expressão: o numerador tem uma diferença de duas raízes quadradas, o que costuma melhorar se multiplicarmos numerador e denominador pelo conjugado da diferença. O “conjugado” de \sqrt{x+h}-\sqrt{x} é \sqrt{x+h}+\sqrt{x}. Explico por que: multiplicando uma diferença pelo seu conjugado obtemos a diferença de quadrados, que elimina as raízes. Isso é uma técnica algébrica padrão para lidar com expressões com raízes.

Passo 3

Multiplicamos a fração por \dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} (igual a 1, portanto não muda o valor para h\neq0). Escrevo a operação em detalhe:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.

Passo 4

Agora uso a identidade de diferença de quadrados: (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aplicando com a=\sqrt{x+h} e b=\sqrt{x} temos
(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})=(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2=(x+h)-x=h.
Substituindo na fração do Passo 3 obtemos, para h\neq0,
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora queremos o limite quando h\to 0. A expressão ficou mais simples:
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Para avaliar esse limite, usamos que a função \sqrt{\;\cdot\;} é contínua em pontos positivos: se h\to 0 então \sqrt{x+h}\to\sqrt{x} (porque x>0 e para h suficientemente pequeno x+h>0). Assim a soma \sqrt{x+h}+\sqrt{x} tende para 2\sqrt{x}. Pela regra do limite do quociente (quando o denominador limite é diferente de zero) podemos substituir o limite no denominador.

Passo 6

Substituindo o limite da soma no denominador temos
\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\lim_{h\to 0}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui é importante observar que 2\sqrt{x}\neq 0 porque x>0, logo a divisão é válida.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: a expressão que calculamos é, na verdade, a definição do coeficiente angular do melhor aproximador linear da função \sqrt{t} em t=x — em outras palavras, coincide com a derivada de \sqrt{t} em t=x. Para um exemplo numérico, se x=4 a fórmula dá \dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}. Isso você pode checar aproximando numericamente o quociente original com pequenos valores de h.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}

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