Determine, se existirem:
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine, quando existir, o valor do limite
sujeito à condição
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é um número fixo e positivo e a variável que tende a zero é
. Temos também a observação implícita de que as raízes quadradas só estão definidas quando
, então precisamos que
seja suficientemente próximo de
de modo que
(isso é garantido porque
).
Passo 2
Primeira ideia para simplificar essa expressão: o numerador tem uma diferença de duas raízes quadradas, o que costuma melhorar se multiplicarmos numerador e denominador pelo conjugado da diferença. O “conjugado” de
é
. Explico por que: multiplicando uma diferença pelo seu conjugado obtemos a diferença de quadrados, que elimina as raízes. Isso é uma técnica algébrica padrão para lidar com expressões com raízes.
Passo 3
Multiplicamos a fração por
(igual a
, portanto não muda o valor para
). Escrevo a operação em detalhe:
Passo 4
Agora uso a identidade de diferença de quadrados:
. Aplicando com
e
temos
Substituindo na fração do Passo 3 obtemos, para
,
Passo 5
Agora queremos o limite quando
. A expressão ficou mais simples:
Para avaliar esse limite, usamos que a função
é contínua em pontos positivos: se
então
(porque
e para
suficientemente pequeno
). Assim a soma
tende para
. Pela regra do limite do quociente (quando o denominador limite é diferente de zero) podemos substituir o limite no denominador.
Passo 6
Substituindo o limite da soma no denominador temos
Aqui é importante observar que
porque
, logo a divisão é válida.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: a expressão que calculamos é, na verdade, a definição do coeficiente angular do melhor aproximador linear da função
em
— em outras palavras, coincide com a derivada de
em
. Para um exemplo numérico, se
a fórmula dá
. Isso você pode checar aproximando numericamente o quociente original com pequenos valores de
.