\text{(ii)}\quad \text{o termo não homogêneo é }2x\\ (\text{um polinômio de grau }1).
A tarefa é obter uma solução particular primeiro “por inspeção” e depois pelo método de variação de parâmetros. Não vou assumir que você já sabe as fórmulas; vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (precisamos dela em ambos os métodos).
A homogênea é
y'' - 2y' + y = 0.
Assumimos uma solução exponencial y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} - 2r + 1 = 0.
Essa é uma quadrática que fatoriza como
(r-1)^{2}=0,
logo r=1 é raiz dupla. Para uma raiz dupla r=1 as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}.
Passo 3
Agora a parte “por inspeção”. O termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, 2x. Para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa tentativa (método dos coeficientes a determinar) é procurar y_{p} na classe de polinômios de mesmo grau, exceto quando 0 (ou e^{0x}) é raiz da equação característica — então multiplicaríamos por x^{s}. Aqui a raiz r=0 não é raiz (pois r^{2}-2r+1 em r=0 vale 1\neq0), então tentamos
y_{p}(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos derivadas: