(1.) Find a particular solution of
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2 x
first by inspection and then by variation of parameters.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea
y'' - 2y' + y = 2x.
Informações dadas:
\text{(i)}\quad \text{equação diferencial } y'' - 2y' + y = 2x;çã
\text{(ii)}\quad \text{o termo não homogêneo é }2x\\ (\text{um polinômio de grau }1).ãêéô
A tarefa é obter uma solução particular primeiro “por inspeção” e depois pelo método de variação de parâmetros. Não vou assumir que você já sabe as fórmulas; vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (precisamos dela em ambos os métodos).
A homogênea é
y'' - 2y' + y = 0.
Assumimos uma solução exponencial y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} - 2r + 1 = 0.
Essa é uma quadrática que fatoriza como
(r-1)^{2}=0,
logo r=1 é raiz dupla. Para uma raiz dupla r=1 as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}.

Passo 3

Agora a parte “por inspeção”. O termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, 2x. Para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa tentativa (método dos coeficientes a determinar) é procurar y_{p} na classe de polinômios de mesmo grau, exceto quando 0 (ou e^{0x}) é raiz da equação característica — então multiplicaríamos por x^{s}. Aqui a raiz r=0 não é raiz (pois r^{2}-2r+1 em r=0 vale 1\neq0), então tentamos
y_{p}(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
y_{p}'(x)=A,\qquad y_{p}''(x)=0.
Substituindo na equação:
y_{p}'' - 2y_{p}' + y_{p} = 0 - 2A + (Ax+B) = Ax + (B-2A).
Isso deve ser igual ao lado direito 2x. Igualando coeficientes do polinômio:
  • Coeficiente de x: \;A = 2.
  • Termo constante: \;B - 2A = 0 \Rightarrow B - 4 = 0 \Rightarrow B = 4.
Logo a solução particular por inspeção é
y_{p}(x)=2x+4.

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma solução usando variação de parâmetros, explicando o método. Para uma equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x),
se y_{1},y_{2} são duas soluções lineares independentes da homogênea, procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos as condições auxiliares
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
e
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x),
o que leva ao sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. A solução deste sistema pode ser escrita usando o Wronskiano W como
u_{1}'(x) = -\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x) = \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)},
onde
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
No nosso caso p(x)=-2, q(x)=1 e g(x)=2x. Já temos y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x}. Vamos calcular W.

Passo 5

Calculemos o Wronskiano:
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{1}'(x)=e^{x},
y_{2}(x)=x e^{x},\qquad y_{2}'(x)=(1+x)e^{x}.
Então
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & x e^{x} \\\ e^{x} & (1+x)e^{x} \end{vmatrix} = e^{x}\cdot(1+x)e^{x} - x e^{x}\cdot e^{x} = e^{2x}\big((1+x)-x\big)=e^{2x}.

Passo 6

Usando as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com g(x)=2x:
u_{1}'(x) = -\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)} = -\frac{x e^{x}\cdot 2x}{e^{2x}} = -2x^{2} e^{-x},
u_{2}'(x) = \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)} = \frac{e^{x}\cdot 2x}{e^{2x}} = 2x e^{-x}.
Agora integramos para obter u_{1} e u_{2}. Vou mostrar as integrais passo a passo.
Para u_{2}:
u_{2}(x)=\int 2x e^{-x}\,dx.
Calcule a integral por partes. Seja I=\int x e^{-x}dx. Tomando u=x, dv=e^{-x}dx temos du=dx, v=-e^{-x}, então
I = -x e^{-x} + \int e^{-x}dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1)+C.
Multiplicando por 2,
u_{2}(x) = -2 e^{-x}(x+1) + C_{2}.
Escolhemos a constante de integração C_{2}=0 (qualquer constante fica absorvida na solução homogênea), então
u_{2}(x) = -2 e^{-x}(x+1).
Para u_{1}:
u_{1}(x)=\int -2x^{2} e^{-x}\,dx = -2\int x^{2} e^{-x}\,dx.
Calcule \int x^{2} e^{-x}dx por partes duas vezes. Seja J=\int x^{2} e^{-x}dx. Tomando u=x^{2}, dv=e^{-x}dx du=2x dx, v=-e^{-x}:
J = -x^{2} e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx.
Já calculámos \int x e^{-x}dx = -e^{-x}(x+1), então
\int 2x e^{-x}dx = -2 e^{-x}(x+1).
Portanto
J = -x^{2} e^{-x} -2 e^{-x}(x+1) + C = -e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big) + C.
Multiplicando por -2,
u_{1}(x) = -2J = -2\big[-e^{-x}(x^{2}+2x+2)\big] + C_{1} = 2 e^{-x}(x^{2}+2x+2) + C_{1}.
Tomamos C_{1}=0. Assim
u_{1}(x) = 2 e^{-x}(x^{2}+2x+2).

Passo 7

Agora montamos a solução particular pelo ansatz y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x) = u_{1}(x)e^{x} + u_{2}(x)\,x e^{x}.
Substituindo u_{1} e u_{2}:
y_{p}(x) = \big(2 e^{-x}(x^{2}+2x+2)\big)e^{x} + \big(-2 e^{-x}(x+1)\big)\,x e^{x}.
Simplificando os fatores e^{-x}e^{x}=1:
y_{p}(x) = 2(x^{2}+2x+2) - 2x(x+1).
Desenvolvendo:
2(x^{2}+2x+2) = 2x^{2}+4x+4,
2x(x+1) = 2x^{2}+2x,
logo
y_{p}(x) = (2x^{2}+4x+4) - (2x^{2}+2x) = 2x+4.
Isso coincide com a solução encontrada por inspeção.

Resposta

y_{p}(x)=2x+4

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