(2,5 pontos) Determine o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo da esfera
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido dado por
onde
Vamos usar coordenadas cilíndricas
, pois há simetria em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro achamos onde o cone e a esfera se intersectam. Na esfera
substituímos
. Como
,
Logo, para
o teto da região é a parte superior da esfera, e o piso é o cone; para
todo o “furo” da esfera (entre suas faces superior e inferior) fica acima do cone.
Passo 3
Em cilíndricas o elemento de volume é
. Dividimos em duas partes:
(i)
:
vai de
até a face superior
(ii)
: o cone fica abaixo da face inferior da esfera
então o sólido naquele anel é toda a espessura da esfera, de
a
.
Como não há dependência em
, o volume é
Passo 4
Calculamos a primeira integral
Cada termo dá
Então
e o volume parcial é
.
Passo 5
Agora a segunda integral
Com a substituição
obtemos
logo
e este pedaço do volume é
.
Passo 6
Somando as duas partes,
Resposta
O volume do sólido é
.