(2,5 pontos) Determine o volume do sólido que está acima do cone z=raiz33 raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+(z-2)^2=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido dado por
(x,y,z)mid z>= zrm cone(r),;x^2+y^2+(z-2)^2<=4,
onde
zrm cone(r)=raiz33raizx^2+y^2= rraiz3
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), pois há simetria em torno do eixo z.

Passo 2

Primeiro achamos onde o cone e a esfera se intersectam. Na esfera
x^2+y^2+(z-2)^2=4
substituímos z=tfrac rraiz3. Como r^2=x^2+y^2,
r^2+l(tfrac rraiz3-2r)^2=4 ;Longrightarrow; r=raiz3, z=tfracraiz3raiz3=1
Logo, para 0<= r<=raiz3 o teto da região é a parte superior da esfera, e o piso é o cone; para raiz3<= r<=2 todo o “furo” da esfera (entre suas faces superior e inferior) fica acima do cone.

Passo 3

Em cilíndricas o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. Dividimos em duas partes:
(i) 0<= r<=raiz3: z vai de zrm cone(r)=tfrac rraiz3 até a face superior
zmax(r)=2+raiz4-r^2
(ii) raiz3<= r<=2: o cone fica abaixo da face inferior da esfera
zmin(r)=2-raiz4-r^2,
então o sólido naquele anel é toda a espessura da esfera, de zmin(r) a zmax(r).
Como não há dependência em theta, o volume é
V =2pigl[integral0^raiz3l(zmax(r)-tfrac rraiz3r),r,dr +integralraiz3^2l(zmax(r)-zmin(r)r),r,drgr]

Passo 4

Calculamos a primeira integral
I1=integral0^raiz3l(2+raiz4-r^2-tfrac rraiz3r)r,dr =integral0^raiz32r,dr +integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr -tfrac1raiz3integral0^raiz3r^2,dr
Cada termo dá
integral0^raiz32r,dr=3, integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr=73, integral0^raiz3r^2,dr= raiz3
Então
I1=3+73-raiz3raiz3=3+73-1=133
e o volume parcial é 2pi,I1=26pi3.

Passo 5

Agora a segunda integral
I2=integralraiz3^2l(zmax(r)-zmin(r)r)r,dr =integralraiz3^22raiz4-r^2;r,dr =2integralraiz3^2rraiz4-r^2,dr
Com a substituição u=4-r^2 obtemos
integralraiz3^2rraiz4-r^2,dr=13,
logo I2=tfrac23 e este pedaço do volume é 2pi,I2=tfrac4pi3.

Passo 6

Somando as duas partes,
V= 26pi3 + 4pi3 = 10pi

Resposta

O volume do sólido é 10pi.

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