( 3,0 pontos) Dois fios longos paralelos são cortados pelo plano x y perpendicularmente. Cada um deles conduz uma corrente I, porém em sentidos contrários. 0 fio 1 e fio 2 estão, respectivamente, a uma distância -d e +d da origem 0 .
a. Faça o diagrama do campo magnético, informando direção e sentido nos pontos P_{1}=-3 d, P_{2} na origem e P_{3}=2 d.
b. Determine \vec{B} no ponto P_{2} na origem.
c. Determine a força magnética, \vec{F}_{B} em um dos fios.

Passo 1

O enunciado dá: dois fios longos e paralelos atravessam o plano xy perpendicularmente (ou seja, os fios estão na direção z), e estão localizados em x=-d (fio 1) e x=+d (fio 2). Cada fio conduz corrente de intensidade \,I, mas em sentidos opostos. O problema pede três coisas:
a. um diagrama do campo magnético indicando direção e sentido em três pontos sobre o eixo x: P_{1}=-3d, P_{2} na origem x=0 e P_{3}=2d;
b. determinar \vec{B} no ponto P_{2} (origem);
c. determinar a força magnética \vec{F}_{B} em um dos fios.
Informações relevantes: posições dos fios ( x=-d e x=+d), correntes têm mesma magnitude I e sentidos opostos, pontos onde avaliar \vec{B} estão todos sobre o eixo x. A figura não foi enviada; vou especificar explicitamente a convenção de sinais dos sentidos de corrente que vou usar (necessário para decidir orientações do campo).

Passo 2

Escolho uma convenção clara para os sentidos das correntes (qualquer escolha é válida, desde que consistente; se o seu professor adotou a outra, basta inverter sentidos nas respostas):
  • Fio 1 (em x=-d) tem corrente para dentro do plano xy, isto é na direção -\hat{z}. Vou chamar isso de “corrente para dentro”.
  • Fio 2 (em x=+d) tem corrente para fora do plano xy, isto é na direção +\hat{z}. Vou chamar isso de “corrente para fora”.
    Explico porque escolhi: o enunciado só diz “sentidos contrários”, então escolher uma orientação é necessário para determinar os sentidos do campo; a física (magnitudes) é a mesma modulo sinal. Vou trabalhar com essa escolha e manter consistência em todos os passos.

Passo 3

Ferramentas físicas e fórmulas importantes (aula rápida e prática):
  • O campo magnético produzido por um fio longo e retilíneo que conduz corrente I é circular em torno do fio e tem módulo dado por
B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e r é a distância do ponto ao fio. Aqui \mu_{0} é constante ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{Tm/A}, se precisar de valor numérico).
  • A direção do campo é dada pela regra da mão direita: apontando o polegar na direção da corrente, os dedos mostram o sentido do campo (circulação ao redor do fio). Para corrente para fora ( +\hat{z}) o campo circula no sentido anti-horário visto de cima; para corrente para dentro ( -\hat{z}) o campo circula no sentido horário visto de cima.
  • Quando estamos sobre o eixo x (todos os pontos pedidos), as linhas circulares em torno de cada fio estarão localmente apontando para \pm\hat{y} (ou seja, vetor B ficará ao longo do eixo y, para cima (+\hat{y}) ou para baixo (-\hat{y})), pois os pontos, fios e centro do círculo estão alinhados sobre x.
  • Para força magnética em um fio de comprimento L: \vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B}. Para força por unidade de comprimento usamos \vec{f}=\dfrac{\vec{F}}{L}=I\,\hat{u}_{I}\times\vec{B}, onde \hat{u}_{I} é a direção do vetor corrente (por exemplo \pm\hat{z}).

Passo 4

Vamos determinar o campo magnético gerado por cada fio nos pontos pedidos. Estratégia prática: em cada ponto calculo a contribuição de cada fio (módulo e direção) e somo vetorialmente (a soma é simplesmente algébrica porque todas as contribuições apontam ao longo de \hat{y}). Para cada contribuição uso \,B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r} com r= distância entre ponto e fio.
Primeiro, distâncias dos pontos até os fios:
  • Para P_{1} em x=-3d: distância até fio 1 ( x=-d) é |-3d-(-d)|=2d; até fio 2 ( x=+d) é |-3d-(+d)|=4d.
  • Para P_{2} na origem x=0: distância até fio 1 é |0-(-d)|=d; até fio 2 é |0-(+d)|=d.
  • Para P_{3} em x=2d: distância até fio 1 é |2d-(-d)|=3d; até fio 2 é |2d-(+d)|=d.

Passo 5

Determine sentido (sinal em \hat{y}\)) das contribuições usando a regra da mão direita e a convenção de correntes que escolhi: - Para o fio 2 (em \(x=+d\), corrente \(+\hat{z}\) para fora): a unidade tangencial \(\hat{\varphi}\) vale \(+\hat{y}\) para pontos à direita do fio (isto é \(x>d\)) e \(-\hat{y}\) para pontos à esquerda do fio (\(x<d\)). Portanto \[\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_2}\times \begin{cases} +\hat{y}, & x>+d,\\\\ -\hat{y}, & x<+d. \end{cases}
  • Para o fio 1 (em x=-d\], corrente \(-\hat{z} para dentro): o sentido do campo é o oposto de um fio com corrente +\hat{z}, então
\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1}\times \begin{cases} -\hat{y}, & x>-d,\\\\ +\hat{y}, & x<-d. \end{cases}
Agora apliquei estas regras nos pontos.

Passo 6

Calculemos \vec{B} em cada ponto somando \vec{B}_1+\vec{B}_2.
  • Em P_{1} com x=-3d: aqui x<-d, então segundo as regras acima:
    • \vec{B}_1 (do fio 1) aponta +\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi(2d)}=\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi d}.
    • \vec{B}_2 (do fio 2) está à esquerda do fio 2 ( x<+d), então aponta -\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi(4d)}=\dfrac{\mu_{0}I}{8\pi d}.
      Fazendo a soma (sempre ao longo de \hat{y}):
    \vec{B}(P_{1})=\left(\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}-\frac{\mu_{0}I}{8\pi d}\right)\hat{y}=\frac{\mu_{0}I}{8\pi d}\,\hat{y}.
    Ou seja, em P_{1} o campo aponta para +\hat{y} (para cima) com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{8\pi d}.
  • Em P_{2} com x=0 (origem), que está entre os fios ( -d<x<+d):
    • \vec{B}_1: como x>-d (estamos à direita do fio 1), \vec{B}_1 aponta -\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}.
    • \vec{B}_2: como x<+d (estamos à esquerda do fio 2), \vec{B}_2 também aponta -\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}.
      Soma:
    \vec{B}(P_{2})=-\left(\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}+\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}\right)\hat{y}=-\frac{\mu_{0}I}{\pi d}\,\hat{y}.
    Portanto no ponto P_{2} o campo aponta para -\hat{y} (para baixo) com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{\pi d}.
  • Em P_{3} com x=2d (à direita de ambos os fios):
    • \vec{B}_1: aqui x>-d, logo contribuição do fio 1 é -\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi(3d)}=\dfrac{\mu_{0}I}{6\pi d}.
    • \vec{B}_2: aqui x>+d, logo contribuição do fio 2 é +\hat{y} com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi d}.
      Soma:
    \vec{B}(P_{3})=\left(\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}-\frac{\mu_{0}I}{6\pi d}\right)\hat{y}=\frac{\mu_{0}I}{3\pi d}\,\hat{y}.
    Então em P_{3} o campo aponta para +\hat{y} (para cima) com módulo \dfrac{\mu_{0}I}{3\pi d}.

Passo 7

Agora a força magnética em um dos fios. Vou calcular a força no fio 1 (em x=-d); o resultado para o outro fio tem sentido oposto (a força é mútua e igual em módulo). A força por unidade de comprimento sobre o fio 1 é
\vec{f} = I\,\hat{u}_{I_1}\times\vec{B}_{\text{devido ao fio 2}},
onde \hat{u}_{I_1}=-\hat{z} (corrente para dentro) e \vec{B}_{\text{devido ao fio 2}} no local do fio 1 é, como já calculado, para x=-d (que está à esquerda do fio 2 por 2d), direção -\hat{y} e módulo
B_{2\text{ em }x=-d}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi(2d)}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}.
Logo tomando \vec{B}_2=-\dfrac{\mu_0 I}{4\pi d}\,\hat{y} e \vec{I}_1 = -I\hat{z}:
\vec{f} = (-I\hat{z})\times\left(-\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\hat{y}\right) = I\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\,(\hat{z}\times\hat{y}).
Sabendo que \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}, obtemos
\vec{f} = -\frac{\mu_0 I^{2}}{4\pi d}\,\hat{x}.
Isto é força por unidade de comprimento. Para um segmento de comprimento L a força é
\vec{F} = -\frac{\mu_0 I^{2}L}{4\pi d}\,\hat{x}.
Fisicamente: o sinal -\hat{x} mostra que o fio 1 é empurrado para a esquerda (repulsão), consistente com correntes em sentidos opostos (opostas se repelem).

Resposta

a) Em P_{1}=-3d: \vec{B}(P_{1})=\dfrac{\mu_{0}I}{8\pi d}\,\hat{y} (para cima).
Em P_{2}=0: \vec{B}(P_{2})=-\dfrac{\mu_{0}I}{\pi d}\,\hat{y} (para baixo).
Em P_{3}=2d: \vec{B}(P_{3})=\dfrac{\mu_{0}I}{3\pi d}\,\hat{y} (para cima).
b) \displaystyle \vec{B}(P_{2})=-\frac{\mu_{0}I}{\pi d}\,\hat{y}.
c) Força no fio 1 (por comprimento L): \displaystyle \vec{F}=-\frac{\mu_{0}I^{2}L}{4\pi d}\,\hat{x} (repulsiva, empurra o fio 1 para a esquerda).

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