Utilizando a calculadora HP12C responda: (ASSAF NETO, 2003, p.384) Um financiamento no valor de 2.000.000,00 é concedido para ser amortizado em 24 pagamentos mensais pelo SAF. A taxa de juros contratada é de 24 % ao ano, com capitalização mensal. Observação: Forneça o passo a passo da calculadora para encontrar este resultado.
Teclas utilizadas:
  • F Reg: Para limpar a memória da calculadora;
  • CHS: Para informar que é investimento ou saída de capital;
  • G CFo: Entra com o fluxo de caixa no momento 0
  • G CFj: Entra com os demais fluxo de caixas
  • G Nj: Entra com os números de repetições de cada fluxo de caixa
  • I: Entra com a taxa.
Com base nessas informações, pede-se determinar:
os valores dos juros e da amortização referentes ao 10^{\circ} mês.

Passo 1

O enunciado dá um financiamento com as seguintes informações (vou listar em claro para não nos perder):
  • Valor financiado (valor presente): \,PV=2{.}000{.}000,00 (recebido pelo tomador).
  • Número de pagamentos: \,n=24 (mensais).
  • Taxa contratada: \,24\% ao ano, com capitalização mensal. Logo a taxa mensal é
i=\frac{24\%}{12}=2\%\\ =0,02.
  • Sistema de amortização: SAF (Sistema de Amortização Francês, também chamado método PRICE) — isso significa que os pagamentos mensais são iguais (prestação fixa) durante todo o período.
O que o exercício pede:
  • Determinar, para o \,10^\circ mês, os valores de juros e de amortização (ou seja: quanto da 10ª prestação corresponde a juros e quanto corresponde à amortização do saldo devedor).

Passo 2

Entender a ideia e a fórmula que vamos usar (aula curta e direta).
  • No SAF (PRICE) a prestação mensal \,PMT é dada por
PMT = PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui:
  • \,PV é o valor do empréstimo (no nosso caso \,2{.}000{.}000,00);
  • \,i é a taxa por período (mensal \,0,02);
  • \,n é o número total de períodos (24).
  • Depois de calcular \,PMT, o procedimento para achar juros e amortização no mês k é:
    • calcular o saldo devedor imediatamente antes do pagamento k (ou seja, após k-1 pagamentos); chamo isso de \,B_{k-1};
    • juros do mês k: \,J_k = B_{k-1}\cdot i;
    • amortização do mês k: \,A_k = PMT - J_k.
  • Uma forma prática de obter o saldo devedor após k-1 pagamentos é ver o valor atual (PV) dos pagamentos remanescentes: se restam m=n-(k-1) pagamentos, então
B_{k-1} = PMT\cdot\frac{1-(1+i)^{-m}}{i}.
(essa é a PV de uma anuidade de m pagamentos iguais).
Vou aplicar essas fórmulas ao caso do 10^\circ mês (logo k=10, então k-1=9 pagamentos já feitos e restam m=24-9=15 pagamentos).

Passo 3

Calcular a prestação mensal \,PMT (faça isso na prova com a fórmula ou na HP12C). Cálculo numérico (mostro valores arredondados a 2 casas):
  • i=0,02.
  • Calcular (1+i)^{24}=(1{,}02)^{24}\approx1{,}6070913824563806.
  • Fator da anuidade:
a_{24}=\frac{1-(1+i)^{-24}}{i}=\frac{1-\dfrac{1}{1{,}6070913824}}{0{,}02}\approx 18{,}880439.
  • Portanto
PMT=\frac{PV}{a_{24}}=\frac{2{.}000{.}000}{18{,}880439}\approx105{.}945{,}88.
Interpretação: todo mês paga-se aproximadamente \,R\$\,105.945,88 (valor da prestação).

Passo 4

Sequência de teclas na HP12C para obter \,PMT (passo a passo, RPN / teclas financeiras padrão):
  • Pressione f REG (limpa registradores financeiros).
  • Digite 24 e pressione a tecla n.
  • Digite 2 e pressione a tecla i (taxa mensal de 2\%).
  • Digite 2000000 e pressione a tecla PV.
  • Verifique que FV está em 0 (se não, digite 0 e FV).
  • Pressione a tecla PMT. A calculadora mostrará o valor da prestação (provavelmente com sinal negativo, porque é uma saída): aproximadamente -105945,88. O valor absoluto é a prestação mensal.
Observação sobre sinais: se a HP12C indicar -105945,88 significa que, para quem paga, a prestação é uma saída de caixa. Em cálculo prático use o valor absoluto 105{.}945{,}88 para comparar com juros/amortização.

Passo 5

Obter o saldo devedor imediatamente antes do pagamento do 10^\circ mês (ou seja, após 9 pagamentos). Vou usar a técnica “valor presente das prestações remanescentes” na HP12C:
  • Já temos os parâmetros e o valor de PMT armazenado.
  • Restam m=24-9=15 pagamentos.
  • Na HP12C:
    • Digite 15 e pressione a tecla n.
    • Pressione a tecla PV. A HP12C vai calcular o valor presente das 15 prestações futuras com a taxa mensal armazenada e irá exibir o saldo devedor após 9 pagamentos. Geralmente a HP12C exibirá um valor negativo (mesmo motivo de sinal), por exemplo -1358014,25.
    • Para ver o saldo como número positivo, pressione CHS (muda sinal). Assim obtemos
B_{9}\approx 1{.}358{.}014{,}25.
(Obs.: esse número é coerente com a fórmula direta B_{9}=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^{-15}}{i} e com o cálculo manual anterior.)

Passo 6

Calcular os juros e a amortização do 10^\circ mês usando a HP12C (passos):
  • Com o saldo devedor exibido (após CHS para ficar positivo), calcule o juros do mês 10:
    • Digite 0,02 (ou 2 e depois CHS e ENTER? o jeito simples: digite 0,02).
    • Pressione ENTER e depois a tecla × (multiplicação) — ou com RPN: com B_9 no X e 0,02 em seguida ×. O resultado será
J_{10}=B_{9}\cdot i \approx 1{.}358{.}014{,}25\times 0{,}02 \approx 27{.}160{,}29.
  • Agora calcule a amortização do mês 10:
    • A amortização é A_{10}=PMT - J_{10}.
    • Use o valor absoluto da prestação: PMT\approx105{.}945{,}88.
    • Faça na HP12C: digite 105945,88 ENTER então digite 27160,29 e pressione - (ou simplesmente calcule mentalmente/subtraia com a calculadora). O resultado é
A_{10}\approx 105{.}945{,}88 - 27{.}160{,}29 \approx 78{.}785{,}59.

Passo 7

Interpretação final e conferência rápida (pra te deixar confiante):
  • Juros do mês 10 correspondem exatamente a 2\% sobre o saldo devedor que havia depois do 9º pagamento. Como o saldo é decrescente, os juros vão caindo mês a mês.
  • A amortização é a diferença entre a prestação fixa e a parte de juros; como os juros caem, a parcela de amortização cresce ao longo do tempo.
  • Os números obtidos estão coerentes com um empréstimo de \,2{.}000{.}000 em 24 meses a 2\% ao mês.

Resposta

\text{Juros no 10º mês} = R\$\,27.160,29ºê
\text{Amortização no 10º mês} = R\$\,78.785,59çãºê

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