( 1,5 pontos) Encontrar o comprimento de arco da curva r=e^{2 \theta}, de \theta=0 até \theta=\frac{3 \pi}{2}, dada em coordenadas polares.
Comprimento de arco em coordenadas polares: s=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{f^{\prime}(\theta)^{2}+f(\theta)^{2}} d \theta.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares por
r = e^{2\theta},
no intervalo \theta\in[0,\tfrac{3\pi}{2}]. O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é
s = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}}\;d\theta.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada de r em relação a \theta. Como