( 1,5 pontos) Encontrar o comprimento de arco da curva r=e^{2 \theta}, de \theta=0 até \theta=\frac{3 \pi}{2}, dada em coordenadas polares.
Comprimento de arco em coordenadas polares: s=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{f^{\prime}(\theta)^{2}+f(\theta)^{2}} d \theta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares por
r = e^{2\theta},
no intervalo \theta\in[0,\tfrac{3\pi}{2}]. O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é
s = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \sqrt{\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}}\;d\theta.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de r em relação a \theta. Como
r(\theta) = e^{2\theta},
temos
r'(\theta) = \frac{d}{d\theta}e^{2\theta} = 2e^{2\theta}.
Em seguida montamos o integrando:
\sqrt{\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} + \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}} = \sqrt{\bigl(2e^{2\theta}\bigr)^{2} + \bigl(e^{2\theta}\bigr)^{2}} = \sqrt{4e^{4\theta} + e^{4\theta}} = \sqrt{5\,e^{4\theta}} = \sqrt{5}\;e^{2\theta}.

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral de comprimento de arco:
s = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \sqrt{5}\;e^{2\theta}\;d\theta = \sqrt{5}\,\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} e^{2\theta}\;d\theta.

Passo 4

Calculamos a primitiva de e^{2\theta}:
\int e^{2\theta}\;d\theta = \frac{e^{2\theta}}{2}.
Logo, avaliando de 0 a \tfrac{3\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} e^{2\theta}\;d\theta = \left.\frac{e^{2\theta}}{2}\right|_{0}^{\frac{3\pi}{2}} = \frac{e^{3\pi} - 1}{2}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \sqrt{5}, obtemos
s = \sqrt{5}\;\frac{e^{3\pi} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(e^{3\pi} - 1\bigr).

Resposta

s = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(e^{3\pi} - 1\bigr).

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