Determinar f^{\prime}(x) no caso em que f(x) seja
\operatorname{sen}\left(\log _{a} x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\log_{a}x\bigr),
onde a>0 e a\neq1.
Para resolver, vamos usar regra da cadeia e a fórmula da derivada de \log_{a}x.

Passo 2

Primeiro expressamos \log_{a}x em função do logaritmo natural:
\log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a}.
Aqui \ln a é constante.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=\operatorname{sen}(u) com u=\log_{a}x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u) = \cos(u)\,\frac{du}{dx}.
Logo,
f'(x) = \cos\bigl(\log_{a}x\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}x\bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada de \log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a}. Como \ln a é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}x\bigr) = \frac{1}{\ln a}\,\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln a}\,\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,\ln a}.

Passo 5

Substituindo no resultado da regra da cadeia, obtemos
f'(x) = \cos\bigl(\log_{a}x\bigr)\,\frac{1}{x\,\ln a} = \frac{\cos\bigl(\log_{a}x\bigr)}{x\,\ln a}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos\bigl(\log_{a}x\bigr)}{x\,\ln a}.

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