(2 pontos) Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
v1=[r -2 -4 4 ] ; v2=[r -1 1 -5 ]

Resposta

  • u1=v1|v1|=16[r-2 -4 4]=13[r-1 -2 2]
  • temos
u2^prime & =[r -1 1 -5 ]-(13[r -1 -2 2 ] cdot[r -1 1 -5 ])13[r -1 -2 2 ] & =[r -1 1 -5 ]--119[r -1 -2 2 ] & =19[r -20 -13 -23 ]
  • Logo u2=13 raiz122[l-20 -13 -23]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal de W=spanv1,v2subsetR^3. Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais a partir de v1 e v2 e depois normalizá-los.

Passo 2

Normalização de v1. Primeiro, o comprimento de v1 é
|v1| = raiz(-2)^2+(-4)^2+4^2 = raiz4+16+16 =6
Logo,
u1 = v1|v1| = 16-2-44 = 13-1-22

Passo 3

Calcula a componente de v2 ortogonal a u1. Primeiro o produto escalar:
u1cdotv2 = 13l((-1)(-1)+(-2)cdot1+2cdot(-5)r) = -113
A projeção de v2 em u1 é
proju1(v2) = (u1cdotv2),u1 = -119-1-22 = tfrac119[3pt]tfrac229[3pt]-tfrac229
Portanto,
u2' = v2 - proju1(v2) = -11-5 - tfrac119[3pt]tfrac229[3pt]-tfrac229 = 19-20-13-23 ]

Passo 4

Normalização de u2'. O comprimento de u2' é
|u2'| = 19raiz(-20)^2+(-13)^2+(-23)^2 = 19raiz400+169+529 = raiz1223
Logo,
u2 = u2'|u2'| = tfrac19l[-20,-13,-23r]^Ttfracraiz1223 = 13raiz122-20-13-23

Resposta

u1 = 13-1-22, u2 = 13raiz122-20-13-23

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