(2 pontos) Resolva a equação A times x=b, para x, a partir dos dados abaixo, através do método dos mínimos quadrados. Determine o valor do erro.
A=[rr 2 & 4 1 & 1 1 & -3 ] ; b=[r -5 0 -5 ]

Resposta

A^t A=[rr 6 & 6 6 & 26 ] (A^t A)^-1=1120[rr 26 & -6 -6 & 6 ] A^t b=[r -15 -5 ]=5[l -3 -1 ] x=124[r -78+6 18-6 ]=124[r -72 12 ] x=[l -3 0.5 ] ProjW b=A x=[r -4 -2.5 -4.5 ] erro=2.738613

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema superdeterminado
A times x = b
pelos mínimos quadrados.
Isso significa que vamos encontrar x que minimiza |Ax-b|2. Para isso usamos as equações normais
A^tA,x = A^tb,

Passo 2

Calcular A^tA e A^tb.
A = 2 & 4 1 & 1 1 & -3 , b = -50-5
Então
A^tA = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -3 2 & 4 1 & 1 1 & -3 = 6 & 6 6 & 26 ,
A^tb = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -3 -50-5 =-15-5

Passo 3

Resolver l(A^tAr)x = A^tb.
Primeiro o inverso de A^tA:
l(A^tAr)^-1 =16cdot26-6cdot6 =1120 26 & -6 -6 & 6
Logo
x =(A^tA)^-1A^tb =1120 26 & -6 -6 & 6 -15-5 =-30,5

Passo 4

Calcular a projeção de b em Im(A), que é Ax, e o resíduo
Ax = 2 & 4 1 & 1 1 & -3 -30,5 =-4-2,5-4,5,
r = b - Ax =-50-5 --4-2,5-4,5 =-12,5-0,5

Passo 5

Determinar o erro, que é a norma-2 do resíduo:
|r|2 =raiz(-1)^2 + (2,5)^2 + (-0,5)^2 =raiz1 + 6,25 + 0,25 =raiz7,5 approx 2,738613

Resposta

x = -30,5, erro = |r|2 approx 2,738613.

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