Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de: h(0.5,15.95), se h(x, y)=(\ln x, 2 \sqrt{y}, 3 x-y).
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o valor de \;h(0,5,\,15,95)\; usando diferenciais, onde a função vetorial é
h(x,y)=\big(\ln x,\;2\sqrt{y},\;3x-y\big).
Informações dadas:
A função h tem três componentes: \ln x, 2\sqrt{y} e 3x-y.
O ponto onde queremos aproximar é \big(0,5,\;15,95\big).
Não há mais informações; a aproximação deverá ser feita por diferenciais (linearização) em torno de um ponto próximo e conveniente.
Passo 2
Escolher um ponto de referência (um ponto fácil perto de (0,5,15,95)) para linearizar. Um bom ponto é
(a,b)=(0,5,\;16),
porque x já coincide com 0,5 e 15,95 está muito perto de 16. Assim os incrementos serão pequenos:
\Delta x = 0,5-0,5=0,\qquad \Delta y = 15,95-16=-0,05.
Explicação curta do porquê: para usar diferenciais fazemos a aproximação linear em torno de um ponto conhecido; escolher um ponto com números simples (aqui y=16 tem raiz quadrada inteira) torna as contas fáceis e a aproximação precisa quando o deslocamento é pequeno.
Passo 3
Relembrando a fórmula que vamos usar (aula compacta): se h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 é diferenciável em (a,b), então para (x,y)=(a+\Delta x,\;b+\Delta y) vale a aproximação linear
onde Dh(a,b) é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) avaliada em (a,b). Interpretação: cada componente de Dh é uma taxa de variação daquela componente em relação a x ou y; multiplicando pela pequena variação (\Delta x,\Delta y) obtemos o pequeno aumento em h.
Agora calculamos as derivadas parciais de cada componente de h.]
Passo 4
Derivadas parciais (mostrando cada passo):
Para h_1(x,y)=\ln x:\frac{\partial h_1}{\partial x}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial h_1}{\partial y}=0.
Para h_2(x,y)=2\sqrt{y}=2y^{1/2}:\frac{\partial h_2}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial h_2}{\partial y}=2\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=y^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{y}}.
Para h_3(x,y)=3x-y:\frac{\partial h_3}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial h_3}{\partial y}=-1.