Use diferenciais para realizar o cálculo aproximado de:
h(0.5,15.95), se h(x, y)=(\ln x, 2 \sqrt{y}, 3 x-y).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de \;h(0,5,\,15,95)\; usando diferenciais, onde a função vetorial é
h(x,y)=\big(\ln x,\;2\sqrt{y},\;3x-y\big).
Informações dadas:
  • A função h tem três componentes: \ln x, 2\sqrt{y} e 3x-y.
  • O ponto onde queremos aproximar é \big(0,5,\;15,95\big).
  • Não há mais informações; a aproximação deverá ser feita por diferenciais (linearização) em torno de um ponto próximo e conveniente.

Passo 2

Escolher um ponto de referência (um ponto fácil perto de (0,5,15,95)) para linearizar. Um bom ponto é
(a,b)=(0,5,\;16),
porque x já coincide com 0,5 e 15,95 está muito perto de 16. Assim os incrementos serão pequenos:
\Delta x = 0,5-0,5=0,\qquad \Delta y = 15,95-16=-0,05.
Explicação curta do porquê: para usar diferenciais fazemos a aproximação linear em torno de um ponto conhecido; escolher um ponto com números simples (aqui y=16 tem raiz quadrada inteira) torna as contas fáceis e a aproximação precisa quando o deslocamento é pequeno.

Passo 3

Relembrando a fórmula que vamos usar (aula compacta): se h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 é diferenciável em (a,b), então para (x,y)=(a+\Delta x,\;b+\Delta y) vale a aproximação linear
h(a+\Delta x,\;b+\Delta y)\approx h(a,b)+Dh(a,b)\begin{pmatrix}\Delta x\\[4pt]\Delta y\end{pmatrix},
onde Dh(a,b) é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) avaliada em (a,b). Interpretação: cada componente de Dh é uma taxa de variação daquela componente em relação a x ou y; multiplicando pela pequena variação (\Delta x,\Delta y) obtemos o pequeno aumento em h.
Agora calculamos as derivadas parciais de cada componente de h.]

Passo 4

Derivadas parciais (mostrando cada passo):
  • Para h_1(x,y)=\ln x: \frac{\partial h_1}{\partial x}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial h_1}{\partial y}=0.
  • Para h_2(x,y)=2\sqrt{y}=2y^{1/2}: \frac{\partial h_2}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial h_2}{\partial y}=2\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=y^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{y}}.
  • Para h_3(x,y)=3x-y: \frac{\partial h_3}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial h_3}{\partial y}=-1.

Passo 5

Avaliar as derivadas no ponto (a,b)=(0,5,16):
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,5,16)=\frac{1}{0,5}=2,\qquad \frac{\partial h_1}{\partial y}(0,5,16)=0,
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,5,16)=0,\qquad \frac{\partial h_2}{\partial y}(0,5,16)=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}=0,25,
\frac{\partial h_3}{\partial x}(0,5,16)=3,\qquad \frac{\partial h_3}{\partial y}(0,5,16)=-1.
Logo a matriz jacobiana em (0,5,16) é
Dh(0,5,16)= \begin{pmatrix} 2 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 3 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o incremento linear \Delta h \approx Dh(a,b)\begin{pmatrix}\Delta x\\[4pt]\Delta y\end{pmatrix} usando \Delta x=0 e \Delta y=-0,05:
\begin{pmatrix} \Delta h_1\\[4pt] \Delta h_2\\[4pt] \Delta h_3 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 2 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]-0,05\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 0 + 0\cdot(-0,05)\\[4pt] 0\cdot 0 + \tfrac{1}{4}\cdot(-0,05)\\[4pt] 3\cdot 0 + (-1)\cdot(-0,05) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] -0,0125\\[4pt] 0,05 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular h(a,b)=h(0,5,16) exatamente e somar o incremento:
h(0,5,16)=\big(\ln(0,5),\;2\sqrt{16},\;3\cdot0,5-16\big)=\big(-\ln 2,\;8,\;1{,}5-16\big)=\big(-\ln 2,\;8,\;-14{,}5\big).
Somando o incremento obtido no passo anterior:
h(0,5,15,95)\approx \begin{pmatrix} -\ln 2\\[4pt] 8\\[4pt] -14{,}5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[4pt] -0{,}0125\\[4pt] 0{,}05 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\ln 2\\[4pt] 7{,}9875\\[4pt] -14{,}45 \end{pmatrix}.
Se quiser valores decimais numéricos, -\ln 2\approx -0{,}693147, então a aproximação numérica é aproximadamente
\big(-0{,}693147,\;7{,}9875,\;-14{,}45\big).]

Resposta

\displaystyle h(0,5,15,95)\approx\big(-\ln 2,\;7{,}9875,\;-14{,}45\big)

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