( 2,5 pontos) Encontre o centro de massa do sólido delimitado pelas superficies parabolicas z=16-2 x^2-2 y^2 e z=2 x^2+2 y^2 se a densidade do sólido for de<a(x, y, z)=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um sólido delimitado pelas parábolas
z = 16 - 2x^2 - 2y^2
e
z = 2x^2 + 2y^2
com densidade de<a(x,y,z)=raizx^2+y^2. O conteúdo é cálculo de momentos usando coordenadas cilíndricas, pois a densidade e as superfícies são radiais.

Passo 2

Vamos descrever a projeção no plano xy. Em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, as superfícies viram
ztop = 16 - 2r^2, zbot = 2r^2
Igualando 16-2r^2 = 2r^2 4r^2=16, ou seja r=2. Logo a região é
0 <= r <= 2, 0<=theta<=2pi, 2r^2 <= z <= 16-2r^2

Passo 3

Calculamos a massa total
M = integral triplasólido de<a,dV = integral0^2pi!!integral0^2!!integral2r^2^16-2r^2 r;l(r,dr,dtheta,dzr) = integral0^2pi!dtheta;integral0^2r^2l((16-2r^2)-2r^2r),dr ó
Isso é
M = 2piintegral0^2r^2(16-4r^2),dr =2pil[integral0^216r^2,dr-integral0^24r^4,drr] =2pil(tfrac1283-tfrac1285r) = 512pi15

Passo 4

Calculamos o momento em torno do plano xy:
Mz = integral tripla z,de<a,dV = integral0^2pi!!integral0^2!!integral2r^2^16-2r^2 z,r^2,dz,dr,dtheta =2piintegral0^2r^2l[tfracz^22r]2r^2^16-2r^2dr
Isso dá
Mz = piintegral0^2r^2l((16-2r^2)^2-(2r^2)^2r),dr = piintegral0^2r^2(256-64r^2),dr = pil(tfrac20483-tfrac20485r) = 4096pi15

Passo 5

Pela simetria radial, bar x=0 e bar y=0. E
bar z = MzM = tfrac4096pi15tfrac512pi15 = 4096512 =8

Resposta

l(bar x,bar y,bar zr) = (0,0,8).

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