( 2,5 pontos) Encontre o centro de massa do sólido delimitado pelas superficies parabolicas
e
se a densidade do sólido for
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um sólido delimitado pelas parábolas
e
com densidade
. O conteúdo é cálculo de momentos usando coordenadas cilíndricas, pois a densidade e as superfícies são radiais.
Passo 2
Vamos descrever a projeção no plano
. Em coordenadas cilíndricas
,
, as superfícies viram
Igualando
dá
, ou seja
. Logo a região é
Passo 3
Calculamos a massa total
Isso é
Passo 4
Calculamos o momento em torno do plano
:
Isso dá
Passo 5
Pela simetria radial,
e
. E