• Questão 3: Seja E o sólido limitado pelas superficies cujas equações sâo x^2+z^2=5, y=-2 e y=1-x^2-z^2. Calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E definido por
  • a superfície cilíndrica x^2+z^2=5,
  • o plano inferior y=-2,
  • a superfície superior y=1 - x^2 - z^2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla sobre a projeção no plano xz.

Passo 2

Para cada ponto (x,z) na região D dada por
x^2+z^2<=5,
a coordenada y varia de y=-2 até y=1 - x^2 - z^2. Logo o volume é
V = integral duplaDl[(1 - x^2 - z^2) - (-2)r],dA = integral duplaDl(3 - x^2 - z^2r),dA

Passo 3

Como D é um disco de raio raiz5, passamos a coordenadas polares em xz:
x = rcostheta, z = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=raiz5 e 0<=theta<=2pi. Assim
V = integral0^2piintegral0^raiz5l(3 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Calcamos a integral em r:
integral0^raiz5(3r - r^3),dr = l[tfrac3r^22 - tfracr^44r]0^raiz5 = 3cdot52 - 5^24 = 152 - 254 = 54
Então
V = integral0^2pi54,dtheta = 54cdot2pi = 5pi2

Resposta

5pi2

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