• Questão 2: Seja S o sólido limitado pela superficie x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano x y e seja I a integral tripla abaixo:
integral triplaS-3 z2 d V
Escreva a integral / usando coordenadas esféricas e em seguida escreva a mesma integral I usando coordenadas cilindricas (não precisa calcular a integral; basta montá-la e para isso e necessário determinar seus limites de integração e seu integrando, em cada caso).

Passo 1

O enunciado define o sólido
S=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=4,;z>=0
e a integral
I=integral triplaS -3z2,dV
Vamos montar I em coordenadas esféricas e cilíndricas, determinando os limites de integração e o integrando em cada caso.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com Jacobiano rho^2sinphi.
No nosso caso S é a semiesfera de raio 2 acima do plano xy, logo
0<=rho<=2, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi2
O integrando -tfrac3z2 vira
-32(rhocosphi)
e multiplicado pelo Jacobiano dá
-32,rhocosphi;rho^2sinphi =-32,rho^3cosphisinphi
Assim
I=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi2 integralrho=0^2 l(-tfrac32,rho^3cosphisinphir) ,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
com Jacobiano r.
O sólido S fica
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=raiz4-r^2
O integrando -tfrac3z2 multiplicado pelo Jacobiano r é
-3z2;r=-32,r,z
Logo
I=integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=0^raiz4-r^2 l(-tfrac32,r,zr) ,dz,dr,dtheta

Resposta

boxed I=integral0^2piintegral0^pi2integral0^2 l(-tfrac32,rho^3cosphisinphir) ,drho,dphi,dtheta
boxed I=integral0^2piintegral0^2integral0^raiz4-r^2 l(-tfrac32,r,zr) ,dz,dr,dtheta

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