(2,5 pontos) Encontre
O centro e o raio da circunferência de equação x^{2}+y^{2}-\frac{2}{3} x+2 y-\frac{8}{9}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e o raio da circunferência cuja equação é
x^{2}+y^{2}-\frac{2}{3}x+2y-\frac{8}{9}=0.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares estão explícitos na equação acima. O que se quer: o ponto centro e o valor do raio da circunferência correspondente.

Passo 2

Plano de ação (explicação do método que vamos usar): devemos escrever a equação na forma padrão de uma circunferência
\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2},
porque nessa forma o centro é \left(h,k\right) e o raio é r. Para isso vamos completar o quadrado nos termos envolvendo x e em seguida nos termos envolvendo y. Vou explicar o procedimento de completar o quadrado: para uma expressão do tipo \,x^{2}+b x, adicionando e subtraindo \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} obtemos \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, ou seja, somando \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} transformamos x^{2}+b x em um quadrado perfeito.

Passo 3

Primeiro, isolo os termos em x e em y e passo a constante para o outro lado:
x^{2}-\frac{2}{3}x + y^{2}+2y = \frac{8}{9}.
Expliquei: tirei -\dfrac{8}{9} do lado esquerdo somando \dfrac{8}{9} em ambos os lados.

Passo 4

Completo o quadrado em x. Na expressão x^{2}-\dfrac{2}{3}x temos b=-\dfrac{2}{3}. Calculo
\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-\tfrac{2}{3}}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.
Então adiciono \dfrac{1}{9} aos dois lados para formar o quadrado perfeito em x.

Passo 5

Agora completo o quadrado em y. Na expressão y^{2}+2y temos b=2. Calculo
\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1.
Então adiciono 1 aos dois lados para formar o quadrado perfeito em y.

Passo 6

Somando os termos necessários em ambos os lados: do lado esquerdo viram quadrados perfeitos e do direito somam-se as constantes. Assim
x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} \;+\; y^{2}+2y+1 \;=\; \frac{8}{9}+\frac{1}{9}+1.
No lado direito calculo a soma:
\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+1=\frac{9}{9}+1=1+1=2.

Passo 7

Reescrevo os quadrados perfeitos do lado esquerdo:
\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=2.
Comparando com \left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}, obtemos o centro e o raio:
h=\frac{1}{3},\qquad k=-1,\qquad r=\sqrt{2}.
Verificação rápida: r=\sqrt{2}>0, como deve ser.

Resposta

\text{Centro}=\left(\dfrac{1}{3},-1\right)
\text{Raio}=\sqrt{2}

Exercícios relacionados