Q1:Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,-6) e \vec{v}=(-3,4). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-4,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar \vec{b}_{2}.
Informações dadas:
A base é \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}.
\vec{u}=(4,-6).
\vec{v}=(-3,4).
As coordenadas de \vec{u} na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-4,2).
As coordenadas de \vec{v} na base \beta são [\vec{v}]_{\beta}=(1,-1).
Passo 2
Entendendo o que significa coordenadas em uma base (mini-aula): se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} e um vetor \vec{x} tem coordenadas [\vec{x}]_{\beta}=(a_{1},a_{2}), isso quer dizer que
\vec{x}=a_{1}\vec{b}_{1}+a_{2}\vec{b}_{2}.
Aqui \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são vetores em \mathbb{R}^{2}, a_{1} e a_{2} são escalares (as coordenadas).