Q1:Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,-6) e \vec{v}=(-3,4). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-4,2) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar \vec{b}_{2}.
Informações dadas:
  • A base é \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}.
  • \vec{u}=(4,-6).
  • \vec{v}=(-3,4).
  • As coordenadas de \vec{u} na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-4,2).
  • As coordenadas de \vec{v} na base \beta são [\vec{v}]_{\beta}=(1,-1).

Passo 2

Entendendo o que significa coordenadas em uma base (mini-aula): se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} e um vetor \vec{x} tem coordenadas [\vec{x}]_{\beta}=(a_{1},a_{2}), isso quer dizer que
\vec{x}=a_{1}\vec{b}_{1}+a_{2}\vec{b}_{2}.
Aqui \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são vetores em \mathbb{R}^{2}, a_{1} e a_{2} são escalares (as coordenadas).

Passo 3

Aplicando a regra às informações do enunciado:
  • Como [\vec{u}]_{\beta}=(-4,2), temos
\vec{u}=-4\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}.
  • Como [\vec{v}]_{\beta}=(1,-1), temos
\vec{v}=1\vec{b}_{1}-1\vec{b}_{2}=\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}.

Passo 4

Isolamos \vec{b}_{1} a partir da expressão para \vec{v}. Da igualdade \vec{v}=\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} segue
\vec{b}_{1}=\vec{v}+\vec{b}_{2}.
Isso é só reorganizar a equação somando \vec{b}_{2} em ambos os lados.

Passo 5

Substituímos \vec{b}_{1}=\vec{v}+\vec{b}_{2} na expressão de \vec{u}:
\vec{u}=-4\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}=-4(\vec{v}+\vec{b}_{2})+2\vec{b}_{2}.

Passo 6

Fazendo a distribuição e somando termos semelhantes:
-4(\vec{v}+\vec{b}_{2})+2\vec{b}_{2}=-4\vec{v}-4\vec{b}_{2}+2\vec{b}_{2}=-4\vec{v}-2\vec{b}_{2}.
Logo a igualdade fica
\vec{u}=-4\vec{v}-2\vec{b}_{2}.

Passo 7

Isolamos \vec{b}_{2}: somando 4\vec{v} aos dois lados e depois dividindo por -2,
-2\vec{b}_{2}=\vec{u}+4\vec{v}\quad\Rightarrow\quad \vec{b}_{2}=-\tfrac{1}{2}(\vec{u}+4\vec{v}).
Explicação: multiplicar por escalar e adicionar vetores faz-se componente a componente.

Passo 8

Calculamos \vec{u}+4\vec{v} componente a componente. Primeiro 4\vec{v}=4(-3,4)=(-12,16). Então
\vec{u}+4\vec{v}=(4,-6)+(-12,16)=(4-12,\,-6+16)=(-8,10).

Passo 9

Agora multiplicamos por -\tfrac{1}{2}:
\vec{b}_{2}=-\tfrac{1}{2}(-8,10)=( -\tfrac{1}{2}\cdot -8,\; -\tfrac{1}{2}\cdot 10)=(4,-5).

Passo 10

Verificação rápida (para ficar tranquilo): se \vec{b}_{2}=(4,-5) e \vec{v}=(-3,4), então
\vec{b}_{1}=\vec{v}+\vec{b}_{2}=(-3,4)+(4,-5)=(1,-1).
Agora -4\vec{b}_{1}+2\vec{b}_{2}=-4(1,-1)+2(4,-5)=(-4,4)+(8,-10)=(4,-6)=\vec{u}, confirmado.

Resposta

(D) \left[\begin{array}{r}4 \\\\ -5\end{array}\right]

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