(1,0 ponto) Calcule
\lim _{t \rightarrow \pi}(t \sin (t), t \cos (t), \sqrt{t})
e o vetor tangente à curva no instante t=\pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o limite quando t\to\pi do vetor (t\sin(t),\, t\cos(t),\, \sqrt{t}) e (2) o vetor tangente à curva no instante t=\pi.\n
Informações dadas que vamos usar: as três componentes do vetor são t\sin(t), t\cos(t) e \sqrt{t}. O ponto de interesse é t=\pi. Não há nenhuma outra condição escondida — só precisamos calcular o limite e a derivada avaliados em t=\pi.

Passo 2

Como calcular o limite de um vetor-campo: para funções vetoriais a regra é simples — o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes, desde que esses limites existam. Ou seja,
\lim_{t\to\pi}\big(t\sin(t),\,t\cos(t),\,\sqrt{t}\big) = \big(\lim_{t\to\pi}t\sin(t),\;\lim_{t\to\pi}t\cos(t),\;\lim_{t\to\pi}\sqrt{t}\big).
Agora vamos calcular cada limite componente a componente.

Passo 3

Cálculo dos limites das componentes (passo a passo):
  • Para a primeira componente \lim_{t\to\pi} t\sin(t): a função \sin(t) é contínua, então \lim_{t\to\pi}\sin(t)=\sin(\pi)=0. Como t\to\pi, o fator t tende a \pi. Portanto
\lim_{t\to\pi} t\sin(t)=\pi\cdot 0=0.
  • Para a segunda componente \lim_{t\to\pi} t\cos(t): \cos(t) é contínua e \cos(\pi)=-1, então
\lim_{t\to\pi} t\cos(t)=\pi\cdot(-1)=-\pi.
  • Para a terceira componente \lim_{t\to\pi}\sqrt{t}: a função \sqrt{t}=t^{1/2} é contínua em t>0, logo
\lim_{t\to\pi}\sqrt{t}=\sqrt{\pi}.
Juntando, o limite do vetor é (0,\,-\pi,\,\sqrt{\pi}).

Passo 4

Agora o vetor tangente em t=\pi. Definição prática: para uma curva dada por \mathbf{r}(t)=\big(r_1(t),r_2(t),r_3(t)\big), o vetor tangente é \mathbf{r}'(t)=\big(r_1'(t),r_2'(t),r_3'(t)\big); em t=\pi avaliamos em t=\pi. Ou seja, derivamos componente a componente e depois substituímos t=\pi.
Precisamos das derivadas das componentes:
  • Derivada de r_1(t)=t\sin(t): usamos a regra do produto. Regra do produto (lembrando): se u(t) e v(t) são diferenciáveis, (u v)'=u'v+uv'. Aqui u(t)=t com u'(t)=1 e v(t)=\sin(t) com v'(t)=\cos(t). Assim
r_1'(t)=1\cdot\sin(t)+t\cdot\cos(t)=\sin(t)+t\cos(t).
Avalia em t=\pi:
r_1'(\pi)=\sin(\pi)+\pi\cos(\pi)=0+\pi(-1)=-\pi.
  • Derivada de r_2(t)=t\cos(t): novamente regra do produto com u(t)=t,\\ v(t)=\cos(t). Temos v'(t)=-\sin(t). Assim
r_2'(t)=1\cdot\cos(t)+t\cdot(-\sin(t))=\cos(t)-t\sin(t).
Avalia em t=\pi:
r_2'(\pi)=\cos(\pi)-\pi\sin(\pi)=-1-\pi\cdot 0=-1.
  • Derivada de r_3(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}: regra do poder (derivada de t^{\alpha} é \alpha t^{\alpha-1}). Aqui \alpha=\tfrac12, então
r_3'(t)=\tfrac12 t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Avalia em t=\pi:
r_3'(\pi)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}.
Portanto o vetor derivada em t=\pi, que é o vetor tangente no instante pedido, é (-\pi,\,-1,\,\tfrac{1}{2\sqrt{\pi}}).

Resposta

(0,\,-\pi,\,\sqrt{\pi})\n
(-\pi,\,-1,\,\frac{1}{2\sqrt{\pi}})

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