(1,0 ponto) Calcule
e o vetor tangente à curva no instante
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o limite quando
do vetor
e (2) o vetor tangente à curva no instante
.\n
Informações dadas que vamos usar: as três componentes do vetor são ,
e
. O ponto de interesse é
. Não há nenhuma outra condição escondida — só precisamos calcular o limite e a derivada avaliados em
.
Informações dadas que vamos usar: as três componentes do vetor são
Passo 2
Como calcular o limite de um vetor-campo: para funções vetoriais a regra é simples — o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes, desde que esses limites existam. Ou seja,
Agora vamos calcular cada limite componente a componente.
Passo 3
Cálculo dos limites das componentes (passo a passo):
- Para a primeira componente
: a função é contínua, então . Como , o fator tende a . Portanto
- Para a segunda componente
: é contínua e , então
- Para a terceira componente
: a função é contínua em , logo
Juntando, o limite do vetor é
.
Passo 4
Agora o vetor tangente em
. Definição prática: para uma curva dada por
, o vetor tangente é
; em
avaliamos em
. Ou seja, derivamos componente a componente e depois substituímos
.
Precisamos das derivadas das componentes:
- Derivada de
: usamos a regra do produto. Regra do produto (lembrando): se e são diferenciáveis, . Aqui com e com . Assim
Avalia em
:
- Derivada de
: novamente regra do produto com . Temos . Assim
Avalia em
:
- Derivada de
: regra do poder (derivada de é ). Aqui , então
Avalia em
:
Portanto o vetor derivada em
, que é o vetor tangente no instante pedido, é
.