(2.0 pontos) Sabendo que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{l(x)}{l(x)}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes limites:
\lim_{x\to a} f(x) = -3, \lim_{x\to a} g(x) = 0 e \lim_{x\to a} l(x) = 5.
A pergunta que devemos responder é:
\lim_{x\to a} \frac{l(x)}{l(x)}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental de limites (enunciada de forma simples e prática):
Se \lim_{x\to a} h(x)=A e \lim_{x\to a} k(x)=B e B\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{h(x)}{k(x)} = \frac{A}{B}.
O que isso diz em palavras: quando o denominador tende a um número diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites. Essa propriedade é usada o tempo todo em provas e exercícios — é uma “regra de divisão” para limites.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso com h(x)=l(x) e k(x)=l(x), precisamos verificar a condição do denominador:
\lim_{x\to a} l(x) = 5 \neq 0.
Portanto a condição B\neq 0 está satisfeita.

Passo 4

Pelo teorema do Passo 2, podemos calcular o limite do quociente como o quociente dos limites:
\lim_{x\to a} \frac{l(x)}{l(x)} = \frac{\lim_{x\to a} l(x)}{\lim_{x\to a} l(x)} = \frac{5}{5}.

Passo 5

Fazendo a divisão numérica:
\frac{5}{5} = 1.
Observação alternativa, útil para a prova: como \lim_{x\to a} l(x)=5, existe um intervalo ao redor de a (tirando possivelmente o próprio a) onde l(x) está próximo de 5 e, em particular, é diferente de zero. Nessa vizinhança, a função \dfrac{l(x)}{l(x)} é igual a 1 exatamente, e o limite de uma função constante 1 é 1. As duas justificativas são equivalentes e reforçam a resposta.

Resposta

1

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