(2.0 pontos) Sabendo que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá as informações:
  • \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = -3.
  • \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = 0.
  • \displaystyle \lim_{x\to a} l(x) = 5 (essa última não é necessária para o limite pedido).
A pergunta que devemos responder é:
  • Calcular (ou decidir se existe) \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e condição): se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
No nosso caso temos L=-3 e M=0. Como M=0, a regra acima NÃO é aplicável — portanto não podemos simplesmente dividir os limites para obter um número finito. Isso já indica que o limite pode não existir como número real.

Passo 3

Argumento que mostra que o limite não é um número finito. Como \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=-3, existe um entorno de a onde f(x) fica próximo de -3. Em particular, escolha, por exemplo, \varepsilon=1. Então existe \delta>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta,
|f(x)+3|<1.
Isto implica que, para esses x,
-4 < f(x) < -2 \quad\Rightarrow\quad |f(x)|>2.
Como \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=0, para x suficientemente próximo de a temos |g(x)| arbitrariamente pequeno. Assim, para 0<|x-a|<\delta,
\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \ge \frac{2}{|g(x)|}.
Como |g(x)| pode ser feito arbitrariamente pequeno, a quantidade \dfrac{2}{|g(x)|} pode ser feita arbitrariamente grande. Portanto \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right| não pode ficar próxima de nenhum número finito quando x\to a. Conclusão: não existe limite finito (real) para \dfrac{f(x)}{g(x)} quando x\to a.

Passo 4

Agora vamos explicar os comportamentos possíveis (extensos) dependendo de como g(x) aproxima zero:
  • Se g(x)\to 0^+ (ou seja, tende a zero por valores positivos), então f(x)\approx -3 e \dfrac{f(x)}{g(x)}\to -\infty.
  • Se g(x)\to 0^-, então \dfrac{f(x)}{g(x)}\to +\infty (porque -3 dividido por um número negativo muito pequeno dá grande positivo).
  • Se g(x) não tem sinal fixo perto de a (oscila entre positivos e negativos arbitrariamente próximos de a), então as aproximações pela direita e pela esquerda podem divergir com sinais opostos e, portanto, não existe sequer um limite estendido (nem +\infty nem -\infty).
Para fixar a intuição, alguns exemplos simples (com f(x)\equiv -3 para simplificar):
  • Tomando g(x)=|x-a| (então g(x)\to0^+), obtemos \dfrac{f(x)}{g(x)}=-\dfrac{3}{|x-a|}\to -\infty.
  • Tomando g(x)=-(x-a)^2 (então g(x)\to0^-), obtemos \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{3}{(x-a)^2}\to +\infty.
  • Tomando g(x)=x-a (sinal muda), obtemos \dfrac{f(x)}{g(x)}=-\dfrac{3}{x-a} que tende a -\infty ao aproximar por x>a e a +\infty ao aproximar por x<a; assim não há limite (nem mesmo infinito único).

Passo 5

Resumo final e resposta curta: não existe limite finito. Em termos de limite estendido, o valor depende do comportamento do sinal de g(x) perto de a: pode ser -\infty, +\infty ou não existir.

Resposta

Não existe limite finito. Dependendo do sinal de g(x) perto de a, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} pode ser -\infty (se g(x)\to0^+), +\infty (se g(x)\to0^-) ou não existir (se g(x) muda de sinal arbitrariamente perto de a).

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