(2,0 pontos) Encontre uma equação geral para o plano \pi determinado pelos pontos: A(2,1,3), B(-3,-1,3) e C(4,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3) e C(4,2,3). Para isso vamos usar o método vetorial:
  1. formamos dois vetores diretores do plano a partir de A;
  2. calculamos o vetor normal \mathbf{n} como produto vetorial desses vetores;
  3. usamos a forma \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0.

Passo 2

Escolhemos A como ponto de referência e calculamos os vetores
\mathbf{AB} = B - A = (-3-2,\,-1-1,\;3-3) = (-5,\,-2,\,0),
\mathbf{AC} = C - A = (4-2,\;2-1,\;3-3) = (2,\,1,\,0).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado por
\mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -5 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0,\,0,\,-5\cdot1 - (-2)\cdot2) = (0,\,0,\,-1).

Passo 4

A equação vetorial do plano é
\mathbf{n}\cdot(\,(x,y,z)-(2,1,3)\,)=0,
isto é
(0,0,-1)\cdot(x-2,y-1,z-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad -(z-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad z-3=0.

Resposta

z-3=0

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