(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1
( )Elipsóide
b) x^{2}-y^{2}-z^{2}=1
( )Hiperbolóide de 2 folhas
c) x^{2}-y^{2}+z^{2}=1
( )Hiperbolóide de 1 folha
d) x^{2}-y+z^{2}=0
( )Parabolóide Elíptico

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos quatro superfícies quádricas dadas pelas equações e associá-las ao tipo correto: elipsóide, hiperbolóide de duas folhas, hiperbolóide de uma folha e parabolóide elíptico. Para isso, vamos olhar o número de termos quadráticos, os sinais desses termos e a presença de termo linear.

Passo 2

Considere a equação
x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 1.
Aqui todos os coeficientes dos termos quadráticos são positivos e não há termo linear. Isso caracteriza um elipsóide, pois é a forma geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com a=b=c=1 (ou escalas diferentes).

Passo 3

Considere a equação
x^{2} - y^{2} - z^{2} = 1.
Temos um coeficiente positivo em x^{2} e dois negativos em y^{2} e z^{2}. A forma
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1
define um hiperbolóide de duas folhas (duas componentes desconectadas ao longo do eixo x).

Passo 4

Considere a equação
x^{2} - y^{2} + z^{2} = 1.
Aqui há dois coeficientes positivos x^{2},z^{2} e um negativo -y^{2}, encaixando-se na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1,
que é precisamente o hiperbolóide de uma folha (superfície única).

Passo 5

Considere a equação
x^{2} - y + z^{2} = 0.
Reescrevendo em função de y, temos
y = x^{2} + z^{2}.
Isso é um parabolóide elíptico, pois a seção em qualquer plano paralelo a xz é uma elipse e abre-se na direção positiva de y.

Resposta

a) Elipsóide
b) Hiperbolóide de 2 folhas
c) Hiperbolóide de 1 folha
d) Parabolóide Elíptico

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