(2,0 pontos) Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{lll}y & =2 x-3 \\\ z & =-x+5\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{lll}y & =-3 x+7 \\\ z & = & x+1\end{array}\right..
(a) Verifique se s e r são coplanares ou reversas.
(b) Se forem coplanares, são Coincidentes ou Paralelas ou Concorrentes? Justifique!
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no espaço r:\{y=2x-3,\;z=-x+5\} e s:\{y=-3x+7,\;z=x+1\}
e pede (a) verificar se são coplanares ou reversas e (b) em caso de coplanaridade, decidir se coincidentes, paralelas ou concorrentes. Vamos usar forma paramétrica de retas em \mathbb{R}^3, vetores diretores, teste de paralelismo e produto misto para coplanaridade.
Passo 2
Reescrevendo em forma paramétrica:
Para r\), seja \(t\) o parâmetro
\[r:\quad \begin{cases} x=t,\\\ y=2t-3,\\\ z=-t+5. \end{cases}
Extraímos vetores diretores e um ponto em cada reta:
vetor diretor de r: \mathbf v_r=(1,2,-1) e ponto P_r=(0,-3,5) (quando t=0);
vetor diretor de s: \mathbf v_s=(1,-3,1) e ponto P_s=(0,7,1) (quando u=0).
Passo 4
Verificamos se são paralelas comparando \mathbf v_r e \mathbf v_s. Se existisse \lambda tal que \mathbf v_r=\lambda\mathbf v_s, seriam paralelas ou coincidentes. Como
(1,2,-1)\neq\lambda(1,-3,1)
para qualquer \lambda, concluímos que não são paralelas.
Passo 5
Para testar coplanaridade, calculamos o produto misto