(2,0 pontos) Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{lll}y & =2 x-3 \\\ z & =-x+5\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{lll}y & =-3 x+7 \\\ z & = & x+1\end{array}\right..
(a) Verifique se s e r são coplanares ou reversas.
(b) Se forem coplanares, são Coincidentes ou Paralelas ou Concorrentes? Justifique!

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço r:\{y=2x-3,\;z=-x+5\} e s:\{y=-3x+7,\;z=x+1\}
e pede (a) verificar se são coplanares ou reversas e (b) em caso de coplanaridade, decidir se coincidentes, paralelas ou concorrentes. Vamos usar forma paramétrica de retas em \mathbb{R}^3, vetores diretores, teste de paralelismo e produto misto para coplanaridade.

Passo 2

Reescrevendo em forma paramétrica:
Para r\), seja \(t\) o parâmetro \[r:\quad \begin{cases} x=t,\\\ y=2t-3,\\\ z=-t+5. \end{cases}
Para s\], seja \(u o parâmetro
s:\quad \begin{cases} x=u,\\\ y=-3u+7,\\\ z=u+1. \end{cases}

Passo 3

Extraímos vetores diretores e um ponto em cada reta:
vetor diretor de r: \mathbf v_r=(1,2,-1) e ponto P_r=(0,-3,5) (quando t=0);
vetor diretor de s: \mathbf v_s=(1,-3,1) e ponto P_s=(0,7,1) (quando u=0).

Passo 4

Verificamos se são paralelas comparando \mathbf v_r e \mathbf v_s. Se existisse \lambda tal que \mathbf v_r=\lambda\mathbf v_s, seriam paralelas ou coincidentes. Como
(1,2,-1)\neq\lambda(1,-3,1)
para qualquer \lambda, concluímos que não são paralelas.

Passo 5

Para testar coplanaridade, calculamos o produto misto
\bigl(\overrightarrow{P_rP_s},\,\mathbf v_r,\,\mathbf v_s\bigr)
com \overrightarrow{P_rP_s}=P_s-P_r=(0,10,-4). Primeiro
\mathbf v_r\times\mathbf v_s =(1,2,-1)\times(1,-3,1)=(-1,-2,-5),
então
(0,10,-4)\cdot(-1,-2,-5)=0\cdot(-1)+10\cdot(-2)+(-4)\cdot(-5)=0.
Como o produto misto é zero, as retas são coplanares.

Passo 6

Como não são paralelas mas são coplanares, devem se intersectar. Buscamos t e u tais que
(t,2t-3,-t+5)=(u,-3u+7,u+1).
Da igualdade de x vem t=u. Substituindo em y:
2t-3=-3t+7\;\Longrightarrow\;5t=10\;\Longrightarrow\;t=2.
Então o ponto de interseção é
(x,y,z)=(2,\,2\cdot2-3,\, -2+5)=(2,1,3),
que de fato satisfaz z=2+1 da reta s.

Passo 7

As retas são coplanares e como possuem exatamente um ponto em comum, são concorrentes.

Resposta

(a) As retas são coplanares.
(b) São concorrentes, pois se intersectam em (2,1,3).

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