Seja f(x, y)= \begin{cases}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}\right) & \text { se } x^{2}+y^{2}<1 \\\\ 0 & \text { se } x^{2}+y^{2} \geqslant 1\end{cases}
Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}-1}

Passo 1

O enunciado define a função por partes \displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac1{x^2+y^2-1}&\text{se }x^2+y^2<1,\\[6pt]0&\text{se }x^2+y^2\ge1,\end{cases}
e pede
\lim_{(x,y)\to\bigl(\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2\bigr)} \frac{f(x,y)}{x^2+y^2-1}.
O ponto \bigl(\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2\bigr) satisfaz x^2+y^2=1, ou seja, fica na fronteira entre as duas regiões. Para estudar o limite, vamos ver o valor da razão vindo de dentro do disco x^2+y^2<1 e de fora x^2+y^2>1.]

Passo 2

Considere aproximações pelo interior, onde x^2+y^2<1. Nesse caso
\frac{f(x,y)}{x^2+y^2-1} =\frac{\dfrac1{x^2+y^2-1}}{\,x^2+y^2-1\,} =\frac1{(x^2+y^2-1)^2}.
Como (x,y)\to\bigl(\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2\bigr) implica x^2+y^2-1\to0, o quadrado (x^2+y^2-1)^2\to0 e, portanto,
\frac{f(x,y)}{x^2+y^2-1}\;\longrightarrow\;+\infty \quad\text{vindo de dentro.}

Passo 3

Agora, ao aproximar-se pelo exterior, onde x^2+y^2>1, temos f(x,y)=0. Logo
\frac{f(x,y)}{x^2+y^2-1} =\frac{0}{x^2+y^2-1} =0 \quad\text{vindo de fora.}

Passo 4

Como pela direção interior a razão diverge para +\infty e pela direção exterior tende a 0, não há um valor único para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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