Sobre a função F(x)=\sqrt[3]{x^{2}+4}, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre a linearização em a=2.
(b) (1,0 ponto) Use a linearização para calcular uma aproximação para \sqrt[3]{8,0401}.
Dica: Note que 4,0401=(2,01)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função F(x)=\sqrt[3]{x^{2}+4} e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a linearização em a=2.
  • (b) Usar essa linearização para aproximar \sqrt[3]{8,0401}.
Informações úteis fornecidas:
  • A dica diz que 4,0401=(2,01)^{2}. Logo \sqrt[3]{8,0401}=\sqrt[3]{(2,01)^{2}+4}=F(2,01).
  • Para linearização precisamos de F(2) e de F'(2).

Passo 2

O que é linearização? É aproximar a função por sua reta tangente em torno de um ponto a. A fórmula da linearização (reta tangente) é
L(x)=F(a)+F'(a)\,(x-a).
Aqui F(a) é o valor da função no ponto de expansão e F'(a) é a derivada no ponto — a inclinação da reta tangente. A ideia é que, se x está perto de a, F(x)\approx L(x).
Para usar essa fórmula precisamos calcular F'(x). Vamos derivar F(x)= (x^{2}+4)^{1/3}. Usamos a regra da cadeia: se G(x)=g(h(x)) com g(u)=u^{1/3} e h(x)=x^{2}+4, então
G'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g'(u)=\dfrac{1}{3}u^{-2/3} e h'(x)=2x. Portanto a derivada é
F'(x)=\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{-2/3}\cdot 2x=\frac{2x}{3\,(x^{2}+4)^{2/3}}.
Expliquei passo a passo: tirei o expoente 1/3 para ficar 1/3 vezes a função com expoente reduzido em uma unidade, e multipliquei pela derivada interna 2x.

Passo 3

Agora calculamos F(2) e F'(2).
Calcule F(2):
F(2)=\sqrt[3]{2^{2}+4}=\sqrt[3]{4+4}=\sqrt[3]{8}=2.
Calcule F'(2) usando a fórmula:
F'(2)=\frac{2\cdot 2}{3\,(2^{2}+4)^{2/3}}=\frac{4}{3\,(4+4)^{2/3}}=\frac{4}{3\cdot 8^{2/3}}.
Como 8^{1/3}=2, temos 8^{2/3}=(8^{1/3})^{2}=2^{2}=4. Logo
F'(2)=\frac{4}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}.
Portanto a linearização em a=2 é
L(x)=F(2)+F'(2)(x-2)=2+\frac{1}{3}(x-2).

Passo 4

Usar a linearização para aproximar \sqrt[3]{8,0401}.
Pela dica e observação do Passo 1, \sqrt[3]{8,0401}=F(2,01). Como 2,01 está bem perto de 2, usamos F(2,01)\approx L(2,01).
Calcule L(2,01):
L(2,01)=2+\frac{1}{3}(2,01-2)=2+\frac{1}{3}\cdot 0,01.
A multiplicação dá
\frac{1}{3}\cdot 0,01=0,003333\ldots=\frac{1}{300}.
Então
L(2,01)=2+\frac{1}{300}=\frac{601}{300}\approx 2,003333\ldots
Essa é a aproximação de \sqrt[3]{8,0401} usando a linearização em a=2.

Resposta

(a) L(x)=2+\dfrac{1}{3}(x-2)
(b) \sqrt[3]{8,0401}\approx \dfrac{601}{300}\approx 2,003333\ldots

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