Sobre a função
, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre a linearização em
.
(b) (1,0 ponto) Use a linearização para calcular uma aproximação para
.
Dica: Note que
.
(a) (1,0 ponto) Encontre a linearização em
(b) (1,0 ponto) Use a linearização para calcular uma aproximação para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a linearização em
. - (b) Usar essa linearização para aproximar
.
Informações úteis fornecidas:
- A dica diz que
. Logo . - Para linearização precisamos de
e de .
Passo 2
O que é linearização? É aproximar a função por sua reta tangente em torno de um ponto
. A fórmula da linearização (reta tangente) é
Aqui
é o valor da função no ponto de expansão e
é a derivada no ponto — a inclinação da reta tangente. A ideia é que, se
está perto de
,
.
Para usar essa fórmula precisamos calcular
. Vamos derivar
. Usamos a regra da cadeia: se
com
e
, então
Aqui
e
. Portanto a derivada é
Expliquei passo a passo: tirei o expoente
para ficar
vezes a função com expoente reduzido em uma unidade, e multipliquei pela derivada interna
.
Passo 3
Agora calculamos
e
.
Calcule
:
Calcule
usando a fórmula:
Como
, temos
. Logo
Portanto a linearização em
é
Passo 4
Usar a linearização para aproximar
.
Pela dica e observação do Passo 1,
. Como
está bem perto de
, usamos
.
Calcule
:
A multiplicação dá
Então
Essa é a aproximação de
usando a linearização em
.
Resposta
(a)
(b)