(2 pontos) Encontre a solução da equação de Ricatti abaixo, sabendo que y_{1}=2 e y(0)=3 :
\frac{d y}{d x}=-2-y+y^{2}

Passo 1

O enunciado fornece claramente:
  • A equação diferencial
\frac{d y}{d x}=-2-y+y^{2}.
  • Uma solução particular conhecida: y_{1}=2.
  • Condição inicial: y(0)=3.
O que é pedido: encontrar a solução geral (ou a solução específica que satisfaz a condição inicial) da equação diferencial dada.

Passo 2

Primeiro verifique que y_{1}=2 é de fato uma solução particular constante. Substituindo y=2 no membro direito:
-2-(2)+(2)^{2}=-2-2+4=0.
Como o lado direito é zero, a derivada dy/dx é zero e y\equiv 2 é solução constante. Portanto a informação y_{1}=2 está correta.

Passo 3

Método usado (ideia principal, passo a passo): para uma equação de Riccati quando se conhece uma solução particular y_{1} é conveniente fazer a substituição
y = y_{1} + \frac{1}{u(x)}
porque isso transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para u(x). Aqui usaremos y_{1}=2, isto é
y = 2 + \frac{1}{u}.
Vamos calcular dy/dx em função de u. Como y=2+u^{-1},
\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{u^{2}}\frac{d u}{d x}.

Passo 4

Agora substituímos y e dy/dx na equação original. O lado direito em função de u é
-2 - y + y^{2} = -2 -\Bigl(2+\frac{1}{u}\Bigr) + \Bigl(2+\frac{1}{u}\Bigr)^{2}.
Desenvolvendo:
\Bigl(2+\frac{1}{u}\Bigr)^{2}=4+\frac{4}{u}+\frac{1}{u^{2}},
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-2 -\Bigl(2+\frac{1}{u}\Bigr) + \Bigl(2+\frac{1}{u}\Bigr)^{2} = -2-2-\frac{1}{u}+4+\frac{4}{u}+\frac{1}{u^{2}}.
Os termos constantes somam -2-2+4=0. Os termos em 1/u somam -\frac{1}{u}+\frac{4}{u}=\frac{3}{u}. Resta o \frac{1}{u^{2}}. Portanto o lado direito fica
\frac{3}{u}+\frac{1}{u^{2}}.
Igualando com a expressão de dy/dx temos
-\frac{1}{u^{2}}\frac{d u}{d x}=\frac{3}{u}+\frac{1}{u^{2}}.
Multiplicando por u^{2} obtemos uma equação linear simples:
- \frac{d u}{d x} = 3u + 1,
ou seja
\frac{d u}{d x} = -3u - 1.
Escrevendo na forma padrão:
\frac{d u}{d x} + 3u = -1.

Passo 5

Resolver a equação linear para u. A fator integrante é e^{\int 3\,dx}=e^{3x}. Multiplicando a equação por e^{3x} obtemos
\frac{d}{d x}\bigl(u e^{3x}\bigr) = -e^{3x}.
Integrando em x:
u e^{3x} = -\int e^{3x}\,dx + C = -\frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u(x) = -\frac{1}{3} + C e^{-3x}.

Passo 6

Determinar C usando a condição inicial. Observando a substituição y=2+1/u temos
u(x)=\frac{1}{y(x)-2}.
Com y(0)=3 segue u(0)=\frac{1}{3-2}=1. Agora avalie a expressão de u em x=0:
u(0) = -\frac{1}{3} + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Assim
u(x) = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} e^{-3x} = \frac{1}{3}\bigl(4 e^{-3x} - 1\bigr).

Passo 7

Retornar à variável y pela substituição y=2+\dfrac{1}{u}. Usando a expressão encontrada para u,
y(x) = 2 + \frac{1}{\dfrac{1}{3}\bigl(4 e^{-3x} - 1\bigr)} = 2 + \frac{3}{4 e^{-3x} - 1}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por e^{3x} para uma forma mais compacta:
y(x) = 2 + \frac{3e^{3x}}{4 - e^{3x}}.
Colocando tudo numa única fração (opcional, mas mais elegante) obtemos a forma final simplificada.

Resposta

y(x)=\frac{8+e^{3x}}{4 - e^{3x}}.

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