(2 pontos) Encontre a solução da equação de Ricatti abaixo, sabendo que
e
:
Passo 1
O enunciado fornece claramente:
- A equação diferencial
- Uma solução particular conhecida:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a solução geral (ou a solução específica que satisfaz a condição inicial) da equação diferencial dada.
Passo 2
Primeiro verifique que
é de fato uma solução particular constante. Substituindo
no membro direito:
Como o lado direito é zero, a derivada
é zero e
é solução constante. Portanto a informação
está correta.
Passo 3
Método usado (ideia principal, passo a passo): para uma equação de Riccati quando se conhece uma solução particular
é conveniente fazer a substituição
porque isso transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para
. Aqui usaremos
, isto é
Vamos calcular
em função de
. Como
,
Passo 4
Agora substituímos
e
na equação original. O lado direito em função de
é
Desenvolvendo:
logo
Os termos constantes somam
. Os termos em
somam
. Resta o
. Portanto o lado direito fica
Igualando com a expressão de
temos
Multiplicando por
obtemos uma equação linear simples:
ou seja
Escrevendo na forma padrão:
Passo 5
Resolver a equação linear para
. A fator integrante é
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Determinar
usando a condição inicial. Observando a substituição
temos
Com
segue
. Agora avalie a expressão de
em
:
Assim
Passo 7
Retornar à variável
pela substituição
. Usando a expressão encontrada para
,
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
para uma forma mais compacta:
Colocando tudo numa única fração (opcional, mas mais elegante) obtemos a forma final simplificada.