Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
\{0\} \supset \mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado dá a proposição a ser verificada: \{0\} \supset \mathbb{Q}.
Pergunta: essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F)?

Passo 2

Vamos recordar o que significa o símbolo \supset. De forma clara e simples:
  • Para conjuntos A e B, a notação A \supset B significa que A é um superset (ou supérconjunto) de B, isto é, todo elemento de B pertence a A.
  • Em fórmulas: A \supset B \iff (\forall x)(x \in B \Rightarrow x \in A).

Passo 3

Aplicando isso ao caso concreto: a afirmação \{0\} \supset \mathbb{Q} diz que "todo racional pertence a \{0\}". Mas \{0\} é o conjunto que contém apenas o número zero, ou seja, seus elementos são exatamente aqueles que verificam x=0.
Para mostrar que a proposição é falsa basta apresentar um contraexemplo: um elemento de \mathbb{Q} que não esteja em \{0\}. Por exemplo, \tfrac{1}{2} é um número racional, então \tfrac{1}{2} \in \mathbb{Q}. Entretanto, \tfrac{1}{2} \notin \{0\}, porque o único elemento de \{0\} é 0.
Como existe pelo menos um elemento de \mathbb{Q} que não pertence a \{0\}, a implicação necessária para \{0\} \supset \mathbb{Q} falha. Portanto a proposição é falsa.

Passo 4

Observação útil para a prova/estudo: a relação correta entre esses conjuntos é \{0\} \subset \mathbb{Q}, porque todo elemento de \{0\} (isto é, 0) pertence a \mathbb{Q}. Essa relação é verdadeira, mas a indicada no enunciado (com \supset) é falsa.

Resposta

F

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