(2,5 pontos) Encontre a solução geral da EDL não homogênea abaixo usando o método dos coeficientes a determinar.
y^prime prime prime+5 y^prime prime=cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Linear (EDL) não homogênea:
y''' + 5 y'' = cos(t)
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como resolver equações homogêneas e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
y''' + 5 y'' = 0
Essa é uma equação diferencial linear de ordem 3. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
r^3 + 5 r^2 = 0
Fatorando:
r^2 (r + 5) = 0
Então, as raízes são:
r1 = 0 (com mu

Passo 3

Com as raízes em mãos, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
yh(t) = C1 + C2 e^-5t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais se forem fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y''' + 5 y'' = cos(t)
Como o lado direito é $ \cos(t) $, fazemos uma suposição para a solução particular. Geralmente, para $ \cos(t) $, tentamos:
cos(t)
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes a serem determinados.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)

Passo 6

Substituímos $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial original:
yp(t)
Simplificando:
y''' + 5 y'' = cos(t) (A sin(t) - B cos(t)) + 5 (-A cos(t) - B sin(t)) = cos(t)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno dos dois lados da equação:
A - 5B = 0 -B - 5A = 1
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
A = 5B
Substituindo na segunda equação:
- B - 5(5B) = 1 - B - 25B = 1 -26B = 1 B = -126
Então:
A = 5 ( -126 ) = -526

Passo 8

Agora, temos a solução particular:
yp(t) = -526 cos(t) - 126 sin(t)

Passo 9

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDL:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^-5t - 526 cos(t) - 126 sin(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 e^-5t - 526 cos(t) - 126 sin(t)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados