(2,5 pontos) Encontre a solução geral da EDL não homogênea abaixo usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Linear (EDL) não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como resolver equações homogêneas e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de ordem 3. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes em mãos, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais se forem fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é $ \cos(t) $, fazemos uma suposição para a solução particular. Geralmente, para $ \cos(t) $, tentamos:
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes a serem determinados.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 6
Substituímos $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 8
Agora, temos a solução particular:
Passo 9
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDL:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.