( 2,5 pontos) Encontre a função que seja solução da equação diferencial
sujeita ao valor inicial
e
, sabendo que
é uma solução particular dessa equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução que as satisfaz. Os dados são:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Informação adicional:
é uma solução da equação (ou seja,
satisfaz a equação).
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos procurar a solução geral da equação. Uma estratégia apropriada aqui é tentar uma solução da forma
(essa é a técnica padrão para equações com potências de
multiplicando as derivadas). Antes de aplicar, lembro as fórmulas para as derivadas quando
:
Essas expressões são obtidas pela regra de potência: derivada de
é
, etc.
Passo 3
Substituo essas expressões na equação:
Agrupando fatores de
:
Como
não é identicamente zero para
, a expressão entre parênteses deve ser zero. Assim obtemos a equação característica:
Faço a expansão e simplificação:
Passo 4
Resolvo a quadrática
. O discriminante é
. Portanto as raízes são
Isso dá as raízes
e
. Como são duas raízes reais e distintas, as soluções independentes da equação homogênea são
e
. Logo a solução geral é
onde
e
são constantes.
Observação: a informação dada de que
é coerente, pois corresponde à raiz
.
Passo 5
Agora aplico as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculo
a partir da solução geral, diferenciando termo a termo (uso a regra da potência):
Passo 6
Avalio
e
em
e igualo às condições:
Isso gera o sistema linear para
:
Passo 7
Resolvo o sistema. Da primeira equação,
. Substituo na segunda:
Faço as contas passo a passo:
Então
Em seguida
Passo 8
Com as constantes encontradas, escrevo a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Opcionalmente pode-se escrever como
com domínio
(por causa do termo
). Força aí — está resolvido!