( 2,5 pontos) Encontre a função que seja solução da equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0
sujeita ao valor inicial y(1)=-1 e y^{\prime}(1)=-12, sabendo que y_{p}=x^{2} é uma solução particular dessa equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução que as satisfaz. Os dados são:
  • Equação diferencial: x^{2}y''+2x y'-6y=0.
  • Condições iniciais: y(1)=-1,\qquad y'(1)=-12.
  • Informação adicional: y_{p}=x^{2}
é uma solução da equação (ou seja, x^{2} satisfaz a equação).
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos procurar a solução geral da equação. Uma estratégia apropriada aqui é tentar uma solução da forma \,y=x^{m}\, (essa é a técnica padrão para equações com potências de x multiplicando as derivadas). Antes de aplicar, lembro as fórmulas para as derivadas quando y=x^{m}:
y=x^{m},\qquad y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Essas expressões são obtidas pela regra de potência: derivada de x^{m} é m x^{m-1}, etc.

Passo 3

Substituo essas expressões na equação:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+2x\big(m x^{m-1}\big)-6\big(x^{m}\big)=0.
Agrupando fatores de x^{m}:
\big(m(m-1)+2m-6\big)x^{m}=0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq0, a expressão entre parênteses deve ser zero. Assim obtemos a equação característica:
m(m-1)+2m-6=0.
Faço a expansão e simplificação:
m^{2}-m+2m-6=0\quad\Rightarrow\quad m^{2}+m-6=0.

Passo 4

Resolvo a quadrática \,m^{2}+m-6=0. O discriminante é \Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25. Portanto as raízes são
m=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.
Isso dá as raízes m_{1}=2 e m_{2}=-3. Como são duas raízes reais e distintas, as soluções independentes da equação homogênea são x^{2} e x^{-3}. Logo a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes.
Observação: a informação dada de que y_{p}=x^{2} é coerente, pois corresponde à raiz m_{1}=2.

Passo 5

Agora aplico as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculo y' a partir da solução geral, diferenciando termo a termo (uso a regra da potência):
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(C_{1}x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(C_{2}x^{-3}\big)=2C_{1}x-3C_{2}x^{-4}.

Passo 6

Avalio y e y' em x=1 e igualo às condições:
y(1)=C_{1}\cdot1^{2}+C_{2}\cdot1^{-3}=C_{1}+C_{2}=-1,
y'(1)=2C_{1}\cdot1-3C_{2}\cdot1^{-4}=2C_{1}-3C_{2}=-12.
Isso gera o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-1,\\[4pt] 2C_{1}-3C_{2}=-12. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema. Da primeira equação, C_{2}=-1-C_{1}. Substituo na segunda:
2C_{1}-3(-1-C_{1})=-12.
Faço as contas passo a passo:
2C_{1}+3+3C_{1}=-12 \quad\Rightarrow\quad 5C_{1}+3=-12.
Então
5C_{1}=-15\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-3.
Em seguida
C_{2}=-1-C_{1}=-1-(-3)=2.

Passo 8

Com as constantes encontradas, escrevo a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=-3x^{2}+2x^{-3}.
Opcionalmente pode-se escrever como
y(x)=-3x^{2}+\frac{2}{x^{3}},
com domínio x\neq0 (por causa do termo x^{-3}). Força aí — está resolvido!

Resposta

y(x)=-3x^{2}+2x^{-3}

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