( 2.5 pontos)
Encontre a solução geral da equação diferencial
e resolva o problema de valor inicial com
e
Passo 1
Enunciado: temos a equação diferencial
e o problema de valor inicial com condições
O que pede:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial (a solução geral homogênea somada a uma particular). 2) Determinar a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Informações dadas importantes:
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (primeiro passo padrão para EDO lineares de coeficientes constantes).
A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Calculamos o discriminante:
(negativo), logo as raízes são complexas conjugadas:
Quando as raízes são
, a forma real da solução homogênea é
Aqui
e
. Portanto
Explicação didática curta: isso vem de escrever as soluções complexas
e tomar combinações reais.
Passo 3
Procurar uma solução particular
para a não-homogeneidade
. Método: coeficientes indeterminados.
Observação: o lado direito é
multiplicado por um polinômio de grau 2. Como
NÃO é raiz da equação característica (as raízes são
), podemos tentar uma solução particular da forma
onde
é um polinômio de grau 2. Escrevemos
Passo 4
Calcular
de forma prática usando a forma
.
Regra (útil para esse tipo): se
, então
Substituindo na EDO esquerda obtemos (cancelamentos):
Queremos que isso seja igual a
, portanto precisamos que
Passo 5
Substituir
e igualar coeficientes.
Calculamos:
Logo
Organizando por potências de
:
Igualando ao lado direito
, obtemos o sistema de coeficientes
Resolver:
Calcule
, então
Portanto o polinômio particular é
e
Passo 6
Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular.
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Passo 7
Calcular
e
e usar as condições.
Primeiro
:
Sabendo
e
, obtemos
Agora
. Para a parte homogênea, usando a forma
com
,
, tem-se a derivada
Logo em
:
Para
temos, como usado antes,
. Em
:
A condição
dá
Multiplicando por 2:
Note que
. Substituindo
:
Portanto
Nós já temos
e
em forma exata.