( 2.5 pontos)
Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}(x)-y^{\prime}(x)+12 y(x)=x^{2} e^{x}
e resolva o problema de valor inicial com y(0)=4 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial
y^{\prime\prime}(x)-y^{\prime}(x)+12\,y(x)=x^{2}e^{x}
e o problema de valor inicial com condições
y(0)=4,\qquad y^{\prime}(0)=0.
O que pede:
  1. Encontrar a solução geral da equação diferencial (a solução geral homogênea somada a uma particular). 2) Determinar a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Informações dadas importantes:
\text{E.D.O.: }y^{\prime\prime}-y^{\prime}+12y=x^{2}e^{x},\quad y(0)=4,\quad y'(0)=0.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (primeiro passo padrão para EDO lineares de coeficientes constantes).
A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-y^{\prime}+12y=0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r+12=0.
Calculamos o discriminante: \Delta=1-4\cdot1\cdot12=1-48=-47 (negativo), logo as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{47}}{2}.
Quando as raízes são \alpha\pm i\beta, a forma real da solução homogênea é
y_h(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{47}}{2}. Portanto
y_h(x)=e^{\frac{x}{2}}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)\Big).
Explicação didática curta: isso vem de escrever as soluções complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x) e tomar combinações reais.

Passo 3

Procurar uma solução particular y_p para a não-homogeneidade x^{2}e^{x}. Método: coeficientes indeterminados.
Observação: o lado direito é e^{x} multiplicado por um polinômio de grau 2. Como r=1 NÃO é raiz da equação característica (as raízes são \tfrac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{47}}{2}), podemos tentar uma solução particular da forma
y_p(x)=e^{x}p(x),
onde p(x) é um polinômio de grau 2. Escrevemos
p(x)=ax^{2}+bx+c.

Passo 4

Calcular y_p',y_p'' de forma prática usando a forma y_p=e^{x}p(x).
Regra (útil para esse tipo): se y_p=e^{x}p(x), então
y_p'=e^{x}(p+p'),\qquad y_p''=e^{x}(p+2p'+p'').
Substituindo na EDO esquerda obtemos (cancelamentos):
y_p''-y_p'+12y_p=e^{x}\big(p''+p'+12p\big).
Queremos que isso seja igual a x^{2}e^{x}, portanto precisamos que
p''(x)+p'(x)+12p(x)=x^{2}.

Passo 5

Substituir p(x)=ax^{2}+bx+c e igualar coeficientes.
Calculamos:
p'(x)=2ax+b,\qquad p''(x)=2a.
Logo
p''+p'+12p=2a+(2ax+b)+12(ax^{2}+bx+c).
Organizando por potências de x:
p''+p'+12p=12a\,x^{2}+(2a+12b)\,x+(2a+b+12c).
Igualando ao lado direito x^{2}, obtemos o sistema de coeficientes
12a=1,\qquad 2a+12b=0,\qquad 2a+b+12c=0.
Resolver:
a=\frac{1}{12},
2\cdot\frac{1}{12}+12b=0 \implies \frac{1}{6}+12b=0 \implies b=-\frac{1}{72},
2\cdot\frac{1}{12}+b+12c=0 \implies \frac{1}{6}-\frac{1}{72}+12c=0.
Calcule \frac{1}{6}-\frac{1}{72}=\frac{12-1}{72}=\frac{11}{72}, então
12c=-\frac{11}{72}\implies c=-\frac{11}{864}.
Portanto o polinômio particular é
p(x)=\frac{1}{12}x^{2}-\frac{1}{72}x-\frac{11}{864}
e
y_p(x)=e^{x}\Big(\frac{1}{12}x^{2}-\frac{1}{72}x-\frac{11}{864}\Big).

Passo 6

Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular.
A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=e^{\frac{x}{2}}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)\Big)+e^{x}\Big(\frac{1}{12}x^{2}-\frac{1}{72}x-\frac{11}{864}\Big).
Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.

Passo 7

Calcular y(0) e y'(0) e usar as condições.
Primeiro y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos0 + C_{2}\sin0\big)+e^{0}\,p(0)=C_{1}+p(0).
Sabendo p(0)=c=-\dfrac{11}{864} e y(0)=4, obtemos
C_{1}-\frac{11}{864}=4 \implies C_{1}=4+\frac{11}{864}=\frac{3467}{864}.
Agora y'(x). Para a parte homogênea, usando a forma y_h=e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x) com \alpha=\tfrac{1}{2}, \beta=\tfrac{\sqrt{47}}{2}, tem-se a derivada
y_h'(x)=e^{\alpha x}\Big((\alpha A+\beta B)\cos\beta x+(\alpha B-\beta A)\sin\beta x\Big).
Logo em x=0:
y_h'(0)=\alpha A+\beta B=\frac{1}{2}C_{1}+\frac{\sqrt{47}}{2}C_{2}.
Para y_p=e^{x}p(x) temos, como usado antes, y_p'(x)=e^{x}(p+p'). Em x=0:
y_p'(0)=p(0)+p'(0)=c+b=-\frac{11}{864}-\frac{1}{72}=-\frac{11}{864}-\frac{12}{864}=-\frac{23}{864}.
A condição y'(0)=0
y_h'(0)+y_p'(0)=0 \implies \frac{1}{2}C_{1}+\frac{\sqrt{47}}{2}C_{2}-\frac{23}{864}=0.
Multiplicando por 2:
C_{1}+\sqrt{47}\,C_{2}-\frac{46}{864}=0.
Note que \dfrac{46}{864}=\dfrac{23}{432}. Substituindo C_{1}=\dfrac{3467}{864}:
\sqrt{47}\,C_{2}=-C_{1}+\frac{23}{432}=-\frac{3467}{864}+\frac{46}{864}=-\frac{3421}{864}.
Portanto
C_{2}=-\frac{3421}{864\sqrt{47}}.
Nós já temos C_{1} e C_{2} em forma exata.

Resposta

y(x)=e^{\frac{x}{2}}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)\Big)+e^{x}\Big(\dfrac{1}{12}x^{2}-\dfrac{1}{72}x-\dfrac{11}{864}\Big)
y(x)=e^{\frac{x}{2}}\Big(\dfrac{3467}{864}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)-\dfrac{3421}{864\sqrt{47}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{47}}{2}x\big)\Big)+e^{x}\Big(\dfrac{1}{12}x^{2}-\dfrac{1}{72}x-\dfrac{11}{864}\Big)

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