Resolva a equação diferencial:
y d x+\left(x y+2 x-y e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,dx+\big(xy+2x-ye^{y}\big)\,dy=0.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=xy+2x-ye^{y},
onde a equação está na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
O objetivo é encontrar a solução geral implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y\big)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(xy+2x-ye^{y}\big)=y+2.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=1\neq y+2=\frac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata. Precisamos procurar um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y, ou seja \mu=\mu(y). A condição prática para isso é verificar se
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
é função apenas de y. Calculamos:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{(y+2)-1}{y}=\frac{y+1}{y}=1+\frac{1}{y},
que depende apenas de y. Portanto existe \mu(y) dada por
\mu(y)=\exp\left(\int\left(1+\frac{1}{y}\right)\,dy\right).
Integramos:
\int\left(1+\frac{1}{y}\right)\,dy = y+\ln|y|.
Assim podemos tomar (ignorando sinal por conveniência) \mu(y)=y e^{y}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y e^{y}. Obtemos a nova equação
M^\ast\,dx+N^\ast\,dy=0,
com
M^\ast=y\cdot y e^{y}=y^{2}e^{y},
N^\ast=(xy+2x-ye^{y})\cdot y e^{y}=xy^{2}e^{y}+2xy e^{y}-y^{2}e^{2y}.

Passo 5

Verificamos que agora a forma é exata:
\frac{\partial M^\ast}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}e^{y}\big)=2y e^{y}+y^{2}e^{y}=e^{y}(y^{2}+2y),
\frac{\partial N^\ast}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(xy^{2}e^{y}+2xy e^{y}-y^{2}e^{2y}\big)=y^{2}e^{y}+2y e^{y}=e^{y}(y^{2}+2y),
logo \frac{\partial M^\ast}{\partial y}=\frac{\partial N^\ast}{\partial x} e a forma é exata. Existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^\ast,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^\ast.

Passo 6

Integramos \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^\ast=y^{2}e^{y} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int y^{2}e^{y}\,dx= x y^{2}e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração em relação a x).

Passo 7

Agora diferenciamos \Phi em relação a y e igualamos a N^\ast para achar h'(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x\frac{d}{dy}\big(y^{2}e^{y}\big)+h'(y)=x e^{y}(2y+y^{2})+h'(y).
Isto deve ser igual a
N^\ast= x e^{y}(y^{2}+2y)-y^{2}e^{2y}.
Comparando, os termos com x cancelam, sobrando
h'(y)=-y^{2}e^{2y}.
Integramos h'(y). Precisamos calcular \int y^{2}e^{2y}\,dy. Fazemos por partes:
Seja I=\int y^{2}e^{2y}\,dy.
  • Tomando u=y^{2}, dv=e^{2y}dy du=2y\,dy, v=\tfrac{1}{2}e^{2y}.
  • Então
I=\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}-\int \tfrac{1}{2}\cdot 2y e^{2y}\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}-\int y e^{2y}\,dy.
Para J=\int y e^{2y}\,dy:
  • Tomando u=y, dv=e^{2y}dy du=dy, v=\tfrac{1}{2}e^{2y}.
  • Assim
J=\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\int \tfrac{1}{2}e^{2y}\,dy=\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}.
Portanto
I=\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}-\left(\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}\right)=\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}-\tfrac{1}{2}y e^{2y}+\tfrac{1}{4}e^{2y}.
Como h'(y)=-y^{2}e^{2y}, temos
h(y)=-I = -\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}+\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}+C.
Tomando C=0 dentro de \Phi (será absorvido na constante final), obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y)=x y^{2}e^{y}-\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}+\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}.

Passo 8

A solução geral implícita da equação diferencial exata (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja a solução implícita final é
x y^{2}e^{y}-\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}+\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}=C,
onde C é constante arbitrária. (Se preferir, pode-se multiplicar por 4 para eliminar frações.)

Resposta

x y^{2}e^{y}-\tfrac{1}{2}y^{2}e^{2y}+\tfrac{1}{2}y e^{2y}-\tfrac{1}{4}e^{2y}=C

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