Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
onde a equação está na forma diferencial
.
O objetivo é encontrar a solução geral implícita .
O objetivo é encontrar a solução geral implícita
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a forma não é exata. Precisamos procurar um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
, ou seja
. A condição prática para isso é verificar se
é função apenas de
. Calculamos:
que depende apenas de
. Portanto existe
dada por
Integramos:
Assim podemos tomar (ignorando sinal por conveniência)
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a nova equação
com
Passo 5
Verificamos que agora a forma é exata:
logo
e a forma é exata. Existe uma função potencial
tal que
Passo 6
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar (constante de integração em relação a
).
Passo 7
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para achar
:
Isto deve ser igual a
Comparando, os termos com
cancelam, sobrando
Integramos
. Precisamos calcular
. Fazemos por partes:
Seja
.
- Tomando
, dá , . - Então
Para
:
- Tomando
, dá , . - Assim
Portanto
Como
, temos
Tomando
dentro de
(será absorvido na constante final), obtemos a função potencial completa:
Passo 8
A solução geral implícita da equação diferencial exata (após multiplicar pelo fator integrante) é
ou seja a solução implícita final é
onde
é constante arbitrária. (Se preferir, pode-se multiplicar por
para eliminar frações.)