Resolva a equação diferencial:
y d x-4\left(x+y^{6}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,dx - 4\bigl(x + y^{6}\bigr)\,dy = 0.
Informações dadas que vamos usar:
\text{a equação diferencial é }y\,dx - 4(x+y^{6})\,dy=0.çãé
Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante de integração. Observação: a equação envolve os diferenciais dx e dy e podemos rearranjá‑la para obter uma equação em \dfrac{dx}{dy} (ou em \dfrac{dy}{dx}), dependendo de qual forma for mais conveniente.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando \dfrac{dx}{dy}. Primeiro passo algébrico simples: dividir ambos os lados por dy (assumindo momentaneamente dy\neq0) e por y quando necessário. Temos
y\,\frac{dx}{dy} - 4\bigl(x+y^6\bigr)=0.
Isolando \dfrac{dx}{dy},
\frac{dx}{dy} = \frac{4\bigl(x+y^6\bigr)}{y}.
Essa forma já nos mostra que \dfrac{dx}{dy} aparece em função de x e de y.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear em x vista como função de y. Reescrevendo:
\frac{dx}{dy} = 4\frac{x}{y} + 4y^5.
Agora subtraímos 4\frac{x}{y} de ambos os lados para obter a forma
\frac{dx}{dy} - \frac{4}{y}x = 4y^5.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para x(y) no formato
\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y),
onde, aqui, P(y) = -\dfrac{4}{y} e Q(y)=4y^5. Explico: numa equação linear de primeira ordem, x é a função incógnita dependente da variável independente y; P(y) e Q(y) são funções conhecidas de y.

Passo 4

Método da fator integrante (integrating factor). Para resolver
\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y),
o fator integrante \mu(y) é
\mu(y)=\exp\!\left(\int P(y)\,dy\right).
Aplicando ao nosso caso com P(y)=-\dfrac{4}{y},
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{y}\,dy\right)=\exp\!\left(-4\ln|y|\right).
Usando propriedades dos logaritmos e da exponencial,
\mu(y)=|y|^{-4}.
Para trabalharmos de forma simples, assumimos y\neq0 e usamos \mu(y)=y^{-4} (o sinal absoluto tem papel apenas em questões de domínio; a expressão final pode ser estendida em intervalos onde y mantém o mesmo sinal).

Passo 5

Multiplicamos a equação original (na forma linear) pelo fator integrante \mu(y)=y^{-4}. Fazendo isso:
y^{-4}\frac{dx}{dy} - 4y^{-5}x = 4y^5\cdot y^{-4}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y^{-4}x. Verificação detalhada: usando a regra do produto,
\frac{d}{dy}\bigl(y^{-4}x\bigr)=y^{-4}\frac{dx}{dy} + x\frac{d}{dy}\bigl(y^{-4}\bigr)=y^{-4}\frac{dx}{dy} + x(-4)y^{-5}=y^{-4}\frac{dx}{dy}-4y^{-5}x.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dy}\bigl(y^{-4}x\bigr)=4y.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a y:
\int \frac{d}{dy}\bigl(y^{-4}x\bigr)\,dy = \int 4y\,dy.
A integral do lado esquerdo pinga simplesmente y^{-4}x. A integral do lado direito é imediata:
y^{-4}x = 2y^2 + C,
onde C é a constante de integração. Aqui expliquei: \int 4y\,dy = 4\cdot \dfrac{y^2}{2}=2y^2.

Passo 7

Isolamos x multiplicando por y^4 (novamente assumindo y\neq0 ao longo desta dedução):
x = y^4\bigl(2y^2 + C\bigr) = 2y^6 + C y^4.
Esse é o resultado explícito para x em função de y. A constante C é arbitrária e representa a família de curvas solução.

Passo 8

Comentário sobre casos especiais e verificação rápida. Observações importantes:
  • Em todo o processo dividimos por y ou usamos y^{-4}, então assumimos y\neq0. Devemos verificar se y\equiv 0 (função identicamente zero) é solução singular. Testando y\equiv 0 na equação original:
y\,dx - 4(x+y^{6})\,dy = 0\quad\Rightarrow\quad 0\cdot dx -4(x+0)\cdot 0 = 0,
portanto y\equiv 0 satisfaz a equação (pois dy=0 nessa função). Logo y\equiv 0 é uma solução singular que não foi gerada pelo processo que dividiu por y.
  • Podemos também verificar substituindo x=2y^6 + C y^4 na equação original; ao fazer as derivadas e simplificar, a identidade é satisfeita (confere a consistência do resultado).

Resposta

x = 2y^{6} + C y^{4}
y \equiv 0

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