Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante de integração. Observação: a equação envolve os diferenciais
e
e podemos rearranjá‑la para obter uma equação em
(ou em
), dependendo de qual forma for mais conveniente.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
. Primeiro passo algébrico simples: dividir ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) e por
quando necessário. Temos
Isolando
,
Essa forma já nos mostra que
aparece em função de
e de
.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear em
vista como função de
. Reescrevendo:
Agora subtraímos
de ambos os lados para obter a forma
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
no formato
onde, aqui,
e
. Explico: numa equação linear de primeira ordem,
é a função incógnita dependente da variável independente
;
e
são funções conhecidas de
.
Passo 4
Método da fator integrante (integrating factor). Para resolver
o fator integrante
é
Aplicando ao nosso caso com
,
Usando propriedades dos logaritmos e da exponencial,
Para trabalharmos de forma simples, assumimos
e usamos
(o sinal absoluto tem papel apenas em questões de domínio; a expressão final pode ser estendida em intervalos onde
mantém o mesmo sinal).
Passo 5
Multiplicamos a equação original (na forma linear) pelo fator integrante
. Fazendo isso:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Verificação detalhada: usando a regra do produto,
Portanto podemos escrever
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo pinga simplesmente
. A integral do lado direito é imediata:
onde
é a constante de integração. Aqui expliquei:
.
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
(novamente assumindo
ao longo desta dedução):
Esse é o resultado explícito para
em função de
. A constante
é arbitrária e representa a família de curvas solução.
Passo 8
Comentário sobre casos especiais e verificação rápida. Observações importantes:
- Em todo o processo dividimos por
ou usamos , então assumimos . Devemos verificar se (função identicamente zero) é solução singular. Testando na equação original:
portanto
satisfaz a equação (pois
nessa função). Logo
é uma solução singular que não foi gerada pelo processo que dividiu por
.
- Podemos também verificar substituindo
na equação original; ao fazer as derivadas e simplificar, a identidade é satisfeita (confere a consistência do resultado).