(2,0 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Dados importantes que temos:
- A equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente dependente de
. - A condição inicial
. - A hipótese
, que permite dividir por sem problema.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como
, dividimos ambos os lados por
:
Explicação didática: a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas. Aqui podemos identificar
Passo 3
Introduzir o fator integrante. Para resolver uma equação na forma
, usa-se o fator integrante
Isso funciona porque multiplicando a equação por
o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
(pela regra do produto). Aqui
Como
,
. Logo
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Obtém-se
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato, pela regra do produto,
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em
. Temos
onde
é constante de integração. Calcular a integral
por partes: tomemos
,
, então
,
. Assim
Substituindo (absorvendo constantes em uma só
),
Multiplicando por
,
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): calcular
a partir de
. Usando a regra do produto:
Então
que coincide com o termo do enunciado, confirmando que a solução está correta.