(2,0 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
t y^{\prime}-y=t^{3} e^{t}, \quad y(1)=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t\,y'(t)-y(t)=t^{3}e^{t},\qquad y(1)=0,\qquad t>0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) definida para t>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Dados importantes que temos:
  • A equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente dependente de t.
  • A condição inicial y(1)=0.
  • A hipótese t>0, que permite dividir por t sem problema.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como t>0, dividimos ambos os lados por t:
y'(t)-\frac{1}{t}y(t)=t^{2}e^{t}.
Explicação didática: a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y'(t)+p(t)\,y(t)=g(t),
onde p(t) e g(t) são funções conhecidas. Aqui podemos identificar
p(t)=-\frac{1}{t},\qquad g(t)=t^{2}e^{t}.

Passo 3

Introduzir o fator integrante. Para resolver uma equação na forma y'+p(t)y=g(t), usa-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Isso funciona porque multiplicando a equação por \mu(t) o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(t)y(t) (pela regra do produto). Aqui
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(-\ln t).
Como t>0, \exp(-\ln t)=t^{-1}. Logo
\mu(t)=\frac{1}{t}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=\dfrac{1}{t}. Obtém-se
\frac{1}{t}y'(t)-\frac{1}{t^{2}}y(t)=t e^{t}.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{1}{t}y(t). De fato, pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}y(t)\right)=\frac{1}{t}y'(t)+\left(\frac{1}{t}\right)'y(t) =\frac{1}{t}y'(t)-\frac{1}{t^{2}}y(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}y(t)\right)=t e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em t. Temos
\frac{1}{t}y(t)=\int t e^{t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Calcular a integral \int t e^{t}\,dt por partes: tomemos \,u=t, dv=e^{t}dt, então du=dt, v=e^{t}. Assim
\int t e^{t}\,dt = t e^{t}-\int e^{t}\,dt = t e^{t}-e^{t} + C_1 = (t-1)e^{t}+C_1.
Substituindo (absorvendo constantes em uma só C),
\frac{1}{t}y(t)=(t-1)e^{t}+C.
Multiplicando por t,
y(t)=t(t-1)e^{t}+C t.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo t=1:
y(1)=1\cdot(1-1)e^{1}+C\cdot 1 = 0 + C = 0.
Logo C=0. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=t(t-1)e^{t}.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): calcular y'(t) a partir de y(t)=(t^{2}-t)e^{t}. Usando a regra do produto:
y'(t)=(2t-1)e^{t}+(t^{2}-t)e^{t}=(t^{2}+t-1)e^{t}.
Então
t\,y'(t)-y(t)=t\,(t^{2}+t-1)e^{t}-(t^{2}-t)e^{t}=t^{3}e^{t},
que coincide com o termo do enunciado, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(t)=t(t-1)e^{t}

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