Considere o problema de valor inicial (PVI)
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçāo geral da EDO homogênea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. O PVI está escrito como
- Informação ambígua: o termo do lado direito está escrito
, o que não é notação usual. Vou assumir que o enunciado quis dizer . Se essa suposição estiver errada, a resolução muda porque o forçamento é outro; aqui sigo com a interpretação . - Perguntas:
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada ao PVI.
(b) Encontrar a solução do PVI (isto é, a solução da equação não-homogênea que satisfaze ).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Método passo a passo: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica:
Resolvendo a quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea tem a forma padrão (explicando a regra: para raízes
as soluções fundamentais são
e
):
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Preparar para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea
Método escolhido: coeficientes a determinar (ansatz) do tipo
, com
polinomial. Explico por quê: o lado direito é um polinômio em
multiplicado por
; é comum tentar
vezes um polinômio do mesmo grau (ou maior, se houver ressonância). Antes de escolher grau, vou calcular como o operador age sobre
— isso simplifica muito o trabalho.
Passo 4
Calcular
para
. Faço as derivadas com cuidado:
Substituindo em
:
Agrupando termos dentro do parêntese:
logo
Isso é ótimo: o operador reduz à segunda derivada de
multiplicada por
.
Passo 5
Usar o resultado anterior para determinar
. Queremos
Com
temos
Integramos duas vezes para obter
:
onde
e
são constantes de integração. Podemos escolher uma particular específica tomando
e
, porque quaisquer termos lineares ou constantes em
multiplicados por
não coincidem com as soluções da homogênea (as soluções homogêneas têm fatores trigonométricos), de modo que esses termos poderiam ser absorvidos ao somar a solução homogênea na solução geral. Assim, uma escolha conveniente é
Portanto uma solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação não-homogênea somando homogênea + particular:
Passo 7
Impor as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Primeiro calcule
. Como
,
,
e
em
é
, temos
Agora calcule
. Para facilitar, escrevo
Então
Avalio em
. Primeiro
. Depois
logo
. Assim
A condição
dá
.
Passo 8
Substituir as constantes na solução geral encontrada:
Portanto a solução do PVI é