Considere o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=t e^{\prime}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçāo geral da EDO homogênea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. O PVI está escrito como
y''-2y'+2y = t e^{\prime},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
  • Informação ambígua: o termo do lado direito está escrito t e^{\prime}, o que não é notação usual. Vou assumir que o enunciado quis dizer t e^{t}. Se essa suposição estiver errada, a resolução muda porque o forçamento é outro; aqui sigo com a interpretação t e^{t}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada ao PVI.
    (b) Encontrar a solução do PVI (isto é, a solução da equação não-homogênea que satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+2y=0.
Método passo a passo: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}-2r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=1\pm i, a solução geral da homogênea tem a forma padrão (explicando a regra: para raízes a\pm i b as soluções fundamentais são e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt)):
y_{h}(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Preparar para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea
y''-2y'+2y = t e^{t}.
Método escolhido: coeficientes a determinar (ansatz) do tipo y_{p}(t)=p(t)e^{t}, com p(t) polinomial. Explico por quê: o lado direito é um polinômio em t multiplicado por e^{t}; é comum tentar y_{p}=e^{t} vezes um polinômio do mesmo grau (ou maior, se houver ressonância). Antes de escolher grau, vou calcular como o operador age sobre y=p(t)e^{t} — isso simplifica muito o trabalho.

Passo 4

Calcular L[y]=y''-2y'+2y para y=p(t)e^{t}. Faço as derivadas com cuidado:
y=p e^{t},
y'=(p'+p)e^{t},
y''=(p''+2p'+p)e^{t}.
Substituindo em y''-2y'+2y:
y''-2y'+2y=\big(p''+2p'+p\big)e^{t}-2\big(p'+p\big)e^{t}+2p e^{t}.
Agrupando termos dentro do parêntese:
p''+2p'+p-2p'-2p+2p = p'',
logo
L[p e^{t}] = p''(t)\,e^{t}.
Isso é ótimo: o operador reduz à segunda derivada de p multiplicada por e^{t}.

Passo 5

Usar o resultado anterior para determinar p. Queremos
L[y_{p}] = t e^{t}.
Com y_{p}=p(t)e^{t} temos
p''(t)e^{t}=t e^{t}\quad\Longrightarrow\quad p''(t)=t.
Integramos duas vezes para obter p:
p'(t)=\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+A,
p(t)=\int\left(\frac{t^{2}}{2}+A\right)dt=\frac{t^{3}}{6}+A t + B,
onde A e B são constantes de integração. Podemos escolher uma particular específica tomando A=0 e B=0, porque quaisquer termos lineares ou constantes em p(t) multiplicados por e^{t} não coincidem com as soluções da homogênea (as soluções homogêneas têm fatores trigonométricos), de modo que esses termos poderiam ser absorvidos ao somar a solução homogênea na solução geral. Assim, uma escolha conveniente é
p(t)=\frac{t^{3}}{6}.
Portanto uma solução particular é
y_{p}(t)=\frac{t^{3}}{6}e^{t}.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação não-homogênea somando homogênea + particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\frac{t^{3}}{6}e^{t}.

Passo 7

Impor as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro calcule y(0). Como e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0 e t^{3}/6 em t=0 é 0, temos
y(0)=C_{1}=0.
Agora calcule y'(t). Para facilitar, escrevo
y(t)=e^{t}q(t),\qquad q(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + \frac{t^{3}}{6}.
Então
y'(t)=e^{t}q(t)+e^{t}q'(t)=e^{t}\big(q(t)+q'(t)\big).
Avalio em t=0. Primeiro q(0)=C_{1}+0+0=C_{1}=0. Depois
q'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + \frac{t^{2}}{2},
logo q'(0)= -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 + 0 = C_{2}. Assim
y'(0)=q(0)+q'(0)=0+C_{2}=C_{2}.
A condição y'(0)=1 C_{2}=1.

Passo 8

Substituir as constantes na solução geral encontrada:
C_{1}=0,\qquad C_{2}=1.
Portanto a solução do PVI é
y(t)=e^{t}\sin t + \frac{t^{3}}{6}e^{t} = e^{t}\Big(\sin t + \frac{t^{3}}{6}\Big).

Resposta

y_{h}(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)
y(t)=e^{t}\Big(\sin t + \dfrac{t^{3}}{6}\Big)

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