Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição adequada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações e o que é pedido:
- A equação relaciona
com a combinação linear . - Há uma condição inicial em
com . - O objetivo é encontrar a solução (integral) que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Observação útil para simplificar: a expressão do lado direito depende apenas de
. Isso sugere fazer uma substituição que torne a equação em uma só variável. Definimos a nova variável
Vou explicar devagarinho: a ideia é transformar a equação em uma equação para
, porque aí o lado direito ficará só em função de
e talvez a equação separe.
Passo 3
Calcular
usando regra da cadeia / derivação linear:
Agora substituímos
pela fórmula dada pela equação original. Como
(porque
), temos
Passo 4
Fazendo a soma em termos de uma única fração:
Agora temos uma equação para
que depende apenas de
:
Isso é uma equação que se separa invertendo os papéis de
e
: podemos escrever
ou equivalentemente separar como
Então integramos ambos os lados.
Passo 5
Integramos:
Para integrar o lado direito, fazemos uma decomposição simples. Escrevemos
Igualando coeficientes:
dá
. Para a constante:
dá
. Assim
Agora integramos termo a termo:
E
. Portanto o resultado da integral é
onde
é constante de integração. No lado esquerdo
. Logo obtemos a relação
Passo 6
Voltamos à variável original
. A relação integrada fica
Agora aplicamos a condição inicial para determinar
. Em
,
, temos
. Então
Calculando:
e
, então
. Assim
Passo 7
Substituindo
na relação integrada:
Agora fazemos uma simplificação algébrica para deixar a forma mais elegante. Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando obtém-se
Dividindo por
e reorganizando os logaritmos:
Passando o log de
para o outro lado e combinando logs,
Essa é a forma implícita da solução que satisfaz a condição inicial. Se desejar, pode isolar
parcialmente:
mas note que aí
ainda aparece dentro do log; portanto a forma mais clara e final é a relação implícita obtida acima.