Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição adequada.
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2},\qquad y(-1)=-1.
Informações e o que é pedido:
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com a combinação linear 3x+2y.
  • Há uma condição inicial em x=-1 com y(-1)=-1.
  • O objetivo é encontrar a solução (integral) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Observação útil para simplificar: a expressão do lado direito depende apenas de 3x+2y. Isso sugere fazer uma substituição que torne a equação em uma só variável. Definimos a nova variável
u = 3x + 2y.
Vou explicar devagarinho: a ideia é transformar a equação em uma equação para u(x), porque aí o lado direito ficará só em função de u e talvez a equação separe.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dx} usando regra da cadeia / derivação linear:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x+2y)=3 + 2\frac{dy}{dx}.
Agora substituímos \dfrac{dy}{dx} pela fórmula dada pela equação original. Como \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u}{u+2} (porque 3x+2y=u), temos
\frac{du}{dx}=3 + 2\cdot\frac{u}{u+2}.

Passo 4

Fazendo a soma em termos de uma única fração:
\frac{du}{dx}=3+\frac{2u}{u+2}=\frac{3(u+2)+2u}{u+2}=\frac{5u+6}{u+2}.
Agora temos uma equação para u(x) que depende apenas de u:
\frac{du}{dx}=\frac{5u+6}{u+2}.
Isso é uma equação que se separa invertendo os papéis de x e u: podemos escrever
\frac{dx}{du}=\frac{u+2}{5u+6},
ou equivalentemente separar como
dx=\frac{u+2}{5u+6}\,du.
Então integramos ambos os lados.

Passo 5

Integramos:
\int dx = \int \frac{u+2}{5u+6}\,du.
Para integrar o lado direito, fazemos uma decomposição simples. Escrevemos
\frac{u+2}{5u+6}=A+\frac{B}{5u+6}.
Igualando coeficientes: 1=5A A=\tfrac{1}{5}. Para a constante: 2=6A+B B= \tfrac{4}{5}. Assim
\frac{u+2}{5u+6}=\frac{1}{5}+\frac{4/5}{5u+6}.
Agora integramos termo a termo:
\int\left(\frac{1}{5}+\frac{4/5}{5u+6}\right)du=\frac{1}{5}u+\frac{4}{5}\int\frac{1}{5u+6}\,du.
E \displaystyle \int\frac{1}{5u+6}\,du=\frac{1}{5}\ln|5u+6|. Portanto o resultado da integral é
\frac{1}{5}u+\frac{4}{25}\ln|5u+6| + C,
onde C é constante de integração. No lado esquerdo \int dx = x. Logo obtemos a relação
x=\frac{1}{5}u+\frac{4}{25}\ln|5u+6|+C.

Passo 6

Voltamos à variável original u=3x+2y. A relação integrada fica
x=\frac{1}{5}(3x+2y)+\frac{4}{25}\ln|15x+10y+6|+C.
Agora aplicamos a condição inicial para determinar C. Em x=-1, y=-1, temos u( -1)=3(-1)+2(-1)=-5. Então
-1 = \frac{1}{5}(-5) + \frac{4}{25}\ln|5(-5)+6| + C.
Calculando: \frac{1}{5}(-5)=-1 e 5(-5)+6=-19, então |-19|=19. Assim
-1 = -1 + \frac{4}{25}\ln 19 + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{4}{25}\ln 19.

Passo 7

Substituindo C na relação integrada:
x=\frac{1}{5}(3x+2y)+\frac{4}{25}\ln|15x+10y+6| - \frac{4}{25}\ln 19.
Agora fazemos uma simplificação algébrica para deixar a forma mais elegante. Multiplicando ambos os lados por 25 e rearranjando obtém-se
10x-10y-4\ln|15x+10y+6|=-4\ln 19.
Dividindo por 2 e reorganizando os logaritmos:
5x-5y-2\ln|15x+10y+6|=-2\ln 19.
Passando o log de 19 para o outro lado e combinando logs,
5(x-y)=2\ln\!\left(\frac{|15x+10y+6|}{19}\right).
Essa é a forma implícita da solução que satisfaz a condição inicial. Se desejar, pode isolar y parcialmente:
y = x - \frac{2}{5}\ln\!\left(\frac{|15x+10y+6|}{19}\right),
mas note que aí y ainda aparece dentro do log; portanto a forma mais clara e final é a relação implícita obtida acima.

Resposta

5(x-y)=2\ln\!\left(\frac{|15x+10y+6|}{19}\right)

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