Resolva os problemas a seguir, referente a equação diferencial de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado nos entrega a equação diferencial
e pede que se resolva essa equação (ou seja, que se encontre a solução geral
). Não há condição inicial. Informações relevantes que temos do enunciado:
- A equação envolve as variáveis
e . - A equação pode ser reescrita isolando
. - Possíveis soluções constantes aparecem quando o lado direito é zero, isto é, quando
ou (logo é solução constante real). Estas soluções especiais devem ser lembradas porque podem ser perdidas se fizermos divisões por no processo.
Passo 2
Primeiro vou colocar a equação na forma padrão usada em Bernoulli. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Expandindo o produto em
:
Agora escrevo no formato de Bernoulli
. Colocando o termo linear no lado esquerdo:
Dessa forma identifico:
Passo 3
Vou aplicar o método de Bernoulli. Para uma equação
com
, a substituição
transforma a equação numa linear em
. Aqui
, então tomo
Calculo a derivada de
em função de
:
Resolvo
em termos de
:
Agora substituo esse
na equação original na forma de Bernoulli:
Divido tudo por
(aqui estou supondo provisoriamente
; mais adiante comento a solução
):
Lembro que
, então
Multiplico a equação por
para simplificar:
Agora obtive uma equação linear de primeira ordem para
:
Passo 4
Resolvendo a equação linear para
por fator integrante. O coeficiente de
é
, então o fator integrante
é
Calculo a integral no expoente:
, logo
Multiplicando a equação linear por
obtém-se uma forma que é derivada de produto:
Substituo
no lado direito:
Integro ambos os lados em
. No lado direito uso a substituição
, então
e
onde
é a constante de integração. Assim
Multiplico por
para isolar
:
Posso renomear a constante
se quiser, mas deixo assim.
Passo 5
Volto à variável original
. Lembre que
. Portanto
Inverto para obter
:
Tomando a raiz cúbica real (pois estamos buscando soluções reais),
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
- A constante
é arbitrária real. Para obtemos , que é a solução constante já prevista. - A solução
também satisfaz a equação original (pois anula o lado direito), mas foi excluída no processo de divisão por potências de . Assim é uma solução singular que deve ser mencionada separadamente. - Há restrição para evitar divisão por zero: a expressão
não pode ser zero em pontos onde se quer que seja finito. Se existir tal que , a solução dada pelo se torna singular (explosão) em . - A raiz cúbica real está bem definida para qualquer sinal do denominador, mas se o denominador for zero a solução não é finita.