Resolva os problemas a seguir, referente a equação diferencial de Bernoulli.
3\left(1+t^{2}\right) \frac{d y}{d t}=2 t y\left(y^{3}-1\right)\\

Passo 1

O enunciado nos entrega a equação diferencial
3\left(1+t^{2}\right)\frac{dy}{dt}=2t\,y\left(y^{3}-1\right)
e pede que se resolva essa equação (ou seja, que se encontre a solução geral y(t)). Não há condição inicial. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A equação envolve as variáveis t e y(t).
  • A equação pode ser reescrita isolando \dfrac{dy}{dt}.
  • Possíveis soluções constantes aparecem quando o lado direito é zero, isto é, quando y=0 ou y^{3}=1 (logo y=1 é solução constante real). Estas soluções especiais devem ser lembradas porque podem ser perdidas se fizermos divisões por y no processo.

Passo 2

Primeiro vou colocar a equação na forma padrão usada em Bernoulli. Dividindo ambos os lados por 3(1+t^{2}) obtemos
\frac{dy}{dt}=\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y\bigl(y^{3}-1\bigr).
Expandindo o produto em y:
\frac{dy}{dt}=\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y^{4}-\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y.
Agora escrevo no formato de Bernoulli \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)y^{n}. Colocando o termo linear no lado esquerdo:
\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y=\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y^{4}.
Dessa forma identifico:
P(t)=\frac{2t}{3(1+t^{2})},\qquad Q(t)=\frac{2t}{3(1+t^{2})},\qquad n=4.

Passo 3

Vou aplicar o método de Bernoulli. Para uma equação \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)y^{n} com n\neq1, a substituição
z=y^{\,1-n}
transforma a equação numa linear em z. Aqui n=4, então tomo
z=y^{-3}.
Calculo a derivada de z em função de y:
\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(y^{-3}\bigr)=-3y^{-4}\frac{dy}{dt}.
Resolvo \dfrac{dy}{dt} em termos de \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{3}y^{4}\frac{dz}{dt}.
Agora substituo esse \dfrac{dy}{dt} na equação original na forma de Bernoulli:
-\frac{1}{3}y^{4}\frac{dz}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y=\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y^{4}.
Divido tudo por y^{4} (aqui estou supondo provisoriamente y\neq0; mais adiante comento a solução y\equiv0):
-\frac{1}{3}\frac{dz}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,y^{-3}=\frac{2t}{3(1+t^{2})}.
Lembro que y^{-3}=z, então
-\frac{1}{3}\frac{dz}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^{2})}\,z=\frac{2t}{3(1+t^{2})}.
Multiplico a equação por -3 para simplificar:
\frac{dz}{dt}-\frac{2t}{1+t^{2}}\,z=-\frac{2t}{1+t^{2}}.
Agora obtive uma equação linear de primeira ordem para z(t):
\frac{dz}{dt}-\frac{2t}{1+t^{2}}\,z=-\frac{2t}{1+t^{2}}.

Passo 4

Resolvendo a equação linear para z por fator integrante. O coeficiente de z é -\dfrac{2t}{1+t^{2}}, então o fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt\right).
Calculo a integral no expoente: \int \dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\ln(1+t^{2}), logo
\mu(t)=\exp\bigl(-\ln(1+t^{2})\bigr)=(1+t^{2})^{-1}.
Multiplicando a equação linear por \mu(t) obtém-se uma forma que é derivada de produto:
\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)z(t)\bigr)=\mu(t)\left(-\frac{2t}{1+t^{2}}\right).
Substituo \mu(t)=(1+t^{2})^{-1} no lado direito:
\frac{d}{dt}\left(\frac{z}{1+t^{2}}\right)=-\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}.
Integro ambos os lados em t. No lado direito uso a substituição u=1+t^{2}, então du=2t\,dt e
\int -\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,dt=\int -\frac{1}{u^{2}}\,du=\frac{1}{u}+C=\frac{1}{1+t^{2}}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
\frac{z}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+t^{2}}+C.
Multiplico por 1+t^{2} para isolar z:
z=1+C(1+t^{2}).
Posso renomear a constante C se quiser, mas deixo assim.

Passo 5

Volto à variável original y. Lembre que z=y^{-3}. Portanto
y^{-3}=1+C(1+t^{2}).
Inverto para obter y^{3}:
y^{3}=\frac{1}{\,1+C(1+t^{2})\,}.
Tomando a raiz cúbica real (pois estamos buscando soluções reais),
y(t)=\bigl(1+C(1+t^{2})\bigr)^{-1/3}.
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
  • A constante C é arbitrária real. Para C=0 obtemos y(t)=1, que é a solução constante já prevista.
  • A solução y\equiv0 também satisfaz a equação original (pois anula o lado direito), mas foi excluída no processo de divisão por potências de y. Assim y\equiv0 é uma solução singular que deve ser mencionada separadamente.
  • Há restrição para evitar divisão por zero: a expressão \,1+C(1+t^{2})\, não pode ser zero em pontos onde se quer que y seja finito. Se existir t_{0} tal que 1+C(1+t_{0}^{2})=0, a solução dada pelo C se torna singular (explosão) em t_{0}.
  • A raiz cúbica real está bem definida para qualquer sinal do denominador, mas se o denominador for zero a solução não é finita.

Resposta

y(t)=\bigl(1+C(1+t^{2})\bigr)^{-1/3},\quad C\in\mathbb{R}
y(t)\equiv 0

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